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什麼是函數？函數是一種關係，它將輸入集合中的每個元素映射到輸出集合中的唯一一個元素。函數的關鍵特性是：每個輸入值對應且僅對應一個輸出值。例如，函數f(x)等於x的平方，當輸入x等於2時，輸出f(2)等於4。這個映射關係是確定的，每個x值都有一個唯一對應的y值。
函數可以通過多種方式表示。最常見的是代數公式，例如y等於f(x)，明確定義了輸入和輸出之間的計算關係。函數也可以用數值表格來表示，列出輸入值和對應的輸出值。圖形表示則直觀地展示了函數的行為和趨勢。映射關係圖則清晰地顯示了定義域中的元素如何映射到值域中的元素。在這個例子中，我們看到函數f(x)等於x的平方，將輸入1映射到輸出1，將輸入2和4都映射到輸出4，將輸入3映射到輸出9。注意，不同的輸入可以映射到相同的輸出，但每個輸入只能映射到一個輸出。
如何區分函數和非函數？關鍵在於每個輸入值是否對應唯一一個輸出值。函數必須滿足：每個輸入值對應且僅對應一個輸出值。而非函數則存在至少一個輸入值對應多個輸出值的情況。判斷一個圖形是否表示函數的簡單方法是垂直線測試：如果任意垂直線與圖形最多相交一次，則該圖形表示一個函數。左側的拋物線圖形是函數，因為任意垂直線只與它相交一次。而右側的圓形不是函數，因為存在垂直線與圓相交兩次，表明同一個x值對應兩個不同的y值。
函數有幾個基本特性。首先是定義域，它是函數所有可能輸入值的集合。例如，對於平方根函數，定義域是所有非負實數。其次是值域，它是函數所有可能輸出值的集合。函數還可以根據其行為分類：增函數是當x增加時，f(x)也增加的函數，如y等於x；減函數是當x增加時，f(x)減少的函數，如y等於負x；常函數則是f(x)保持不變的函數，如y等於1。了解這些特性有助於我們分析和應用函數。
總結一下，函數是一種特殊的關係，它將每個輸入值映射到唯一一個輸出值。函數可以通過多種方式表示，包括代數公式、數值表格、圖形或映射關係。判斷一個圖形是否表示函數的簡單方法是垂直線測試：如果任意垂直線與圖形最多相交一次，則該圖形表示一個函數。函數的基本特性包括定義域、值域以及增函數、減函數或常函數等變化趨勢。作為描述變量之間關係的基本工具，函數在數學、科學和工程等領域有著廣泛的應用。