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二次函数的一般形式是y等于ax平方加bx加c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。二次函数的图像是一条抛物线。系数a决定了抛物线的开口方向和宽窄：当a大于0时，抛物线开口向上，如蓝色曲线所示；当a小于0时，抛物线开口向下，如红色曲线所示。系数b影响抛物线对称轴的位置，而系数c则决定抛物线与y轴的交点。
二次函数的图像有一个重要特征点——顶点。对于函数y等于ax平方加bx加c，顶点的坐标可以通过公式计算：x坐标等于负b除以2a，y坐标等于4ac减b平方再除以4a。顶点是抛物线的最高点或最低点，这取决于系数a的符号。当a大于0时，如蓝色曲线所示，顶点是最低点；当a小于0时，如红色曲线所示，顶点是最高点。抛物线的对称轴是一条通过顶点的垂直线，其方程为x等于负b除以2a。对称轴将抛物线分成完全对称的两部分。
二次函数与坐标轴的交点是理解函数性质的重要部分。与y轴的交点很容易确定，就是当x等于0时的点，即坐标为(0,c)。而与x轴的交点则需要解方程ax平方加bx加c等于0。这个方程的解的情况由判别式Δ=b平方减4ac决定。当Δ大于0时，如蓝色曲线所示，方程有两个不同的实数解，抛物线与x轴有两个不同的交点。当Δ等于0时，如绿色曲线所示，方程有一个重根，抛物线与x轴只有一个交点，这个点就是抛物线的顶点。当Δ小于0时，如红色曲线所示，方程没有实数解，抛物线与x轴没有交点。
二次函数还可以写成标准式：y等于a乘以x减h的平方加k。在这个形式中，(h,k)直接表示抛物线的顶点坐标。我们可以通过配方法将一般式转换为标准式。首先，将y等于ax平方加bx加c中的x平方和x项配成完全平方式。通过添加和减去相同的项，我们得到a乘以x加b除以2a的平方，再加上c减去b平方除以4a。这就是标准式，其中h等于负b除以2a，k等于4ac减b平方再除以4a。在图中，我们可以看到从基本抛物线y等于x平方到y等于(x-1)平方加2的变换，其中h等于1表示向右平移1个单位，k等于2表示向上平移2个单位。
总结一下，二次函数的一般形式是y等于ax平方加bx加c，其中a不等于0。它的图像是一条抛物线，当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下。抛物线的顶点坐标可以通过公式负b除以2a和4ac减b平方再除以4a计算得到。抛物线的对称轴是一条垂直线，其方程为x等于负b除以2a。二次函数与x轴交点的情况由判别式Δ等于b平方减4ac决定：当Δ大于0时有两个不同的交点，当Δ等于0时有一个交点，当Δ小于0时没有实数交点。理解这些性质对于分析和应用二次函数至关重要。