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我们要计算积分 x 乘以 sin 2x dx。这是一个适合使用分部积分法的积分。分部积分公式是：u乘以dv的积分等于u乘以v减去v乘以du的积分。我们选择u等于x，那么du等于dx。选择dv等于sin 2x dx，积分得到v等于负的二分之一乘以cos 2x。
将选择的u和v代入分部积分公式，得到x乘以sin 2x的积分等于负的二分之一x乘以cos 2x加上二分之一乘以cos 2x的积分。接下来计算cos 2x的积分，令w等于2x，则dw等于2dx，所以cos 2x的积分等于二分之一乘以sin 2x。将这个结果代回原式，得到最终答案：负的二分之一x乘以cos 2x加上四分之一乘以sin 2x再加上积分常数C。
分部积分法的几何意义可以从乘积的导数公式理解。乘积的导数公式是(uv)'等于u'v加上uv'。对这个式子两边积分，得到uv等于u'v的积分加上uv'的积分。移项后，我们得到分部积分公式：uv'的积分等于uv减去u'v的积分。在我们的例子中，u等于x，v'等于sin 2x，所以x乘以sin 2x的积分就是uv'的积分。这个积分表示函数x乘以sin 2x与x轴之间的面积，通过分部积分法，我们得到了这个面积的解析表达式。
现在我们来验证我们的积分结果是否正确。我们得到的结果是：负的二分之一x乘以cos 2x加上四分之一乘以sin 2x再加上积分常数C。要验证这个结果，我们对它求导，看是否能得到原函数x乘以sin 2x。计算导数时，我们需要使用乘积法则和链式法则。首先，负的二分之一cos 2x是第一项的第一部分的导数；然后，负的二分之一x乘以cos 2x的导数是负的二分之一x乘以负2sin 2x，即x乘以sin 2x；最后，四分之一乘以sin 2x的导数是四分之一乘以2cos 2x，即二分之一cos 2x。将这些项相加，负的二分之一cos 2x加上x乘以sin 2x加上二分之一cos 2x，最终得到x乘以sin 2x，这正是我们的原函数。因此，我们的积分结果是正确的。
让我们总结一下本次学习的内容。我们使用分部积分法求解了x乘以sin 2x的积分。分部积分公式是：u乘以dv的积分等于uv减去v乘以du的积分。在这个问题中，我们选择u等于x，dv等于sin 2x dx。通过计算，我们得到最终结果：x乘以sin 2x的积分等于负的二分之一x乘以cos 2x加上四分之一乘以sin 2x再加上积分常数C。我们还通过求导验证了结果的正确性。分部积分法是解决含有乘积形式被积函数的有效方法，特别是当其中一个因子在求导后变得更简单时。