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梯形校正，也称为Keystone变换，是一种几何变换技术。当我们用相机拍摄或投影仪投影时，如果角度不正，原本是矩形的物体会呈现梯形状的畸变。梯形校正技术可以纠正这种透视畸变，使图像中原本平行的线条恢复平行状态。
梯形校正的数学原理基于单应性变换，也称为透视变换。这种变换可以将一个四边形映射到另一个四边形，保持直线性质。在数学上，单应性变换可以用一个3×3矩阵H表示，通过这个矩阵，我们可以将原始图像中的点变换到校正后图像中的对应点。要计算这个变换矩阵，我们需要至少四对对应点。
梯形校正的计算过程包括四个主要步骤。首先，我们需要确定原始图像中的四个参考点，通常是图像的四个角点。其次，确定这些点在目标图像中应该出现的位置，通常是矩形的四个角。第三步，我们建立方程组求解变换矩阵H，这个矩阵包含了从原始图像到校正图像的映射关系。最后，我们将这个变换矩阵应用到原始图像的每个像素，得到校正后的图像。
梯形校正的数学公式基于单应性变换矩阵H。对于原始图像中的每个点(x_i, y_i)，我们可以通过这个矩阵计算出校正后图像中的对应点(x_i', y_i')。这个变换可以表示为一组非线性方程，其中分子和分母都是原始坐标的线性组合。为了求解变换矩阵H的8个未知参数，我们需要至少四对对应点。通常我们选择图像的四个角点，建立8个方程，然后求解这个方程组。
梯形校正在多个领域有广泛应用。在投影仪使用中，它可以校正因投影角度不正导致的画面变形，使投影画面呈现为标准矩形。在文档扫描与数字化过程中，它能够校正因拍摄角度导致的文档变形，使扫描结果更加准确。在计算机视觉领域，梯形校正是图像预处理的重要步骤，有助于物体识别和三维重建。在增强现实应用中，它帮助将虚拟内容准确叠加到现实场景中。此外，梯形校正还应用于医学成像和卫星图像处理等领域，帮助获取更准确的图像信息。