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欢迎来到线性代数中二次型及其标准型的讲解。二次型是一种特殊的多项式形式,它是变量的二次齐次多项式。在数学上,我们可以将二次型表示为变量的双重求和形式,或者更简洁地表示为矩阵形式X转置乘以矩阵A乘以X。这里的矩阵A是一个对称矩阵,即a_{ij}等于a_{ji}。右侧图形展示了一个简单的二次型z=x^2+y^2,它是一个抛物面。
二次型的标准型是指只包含平方项、没有交叉项的形式。我们可以通过非奇异线性变换X=PY,将原二次型转化为标准型。在标准型中,二次型表示为λ_1 y_1^2 + λ_2 y_2^2 + ... + λ_n y_n^2的形式,其中λ_i是对角矩阵D的对角元素。右侧图形展示了这一变换过程:左边是含有交叉项的椭圆(表示一般二次型),通过坐标变换,它被转化为右边与坐标轴平行的椭圆(表示标准型)。
二次型标准化有两种主要方法。第一种是正交变换法,它基于矩阵的特征值和特征向量。我们首先求出二次型对应的对称矩阵A,然后计算其特征值和特征向量,构造正交矩阵P,最终得到标准型。第二种是配方法,它通过代数运算逐步消去交叉项。我们选择一个变量进行配方,消去该变量与其他变量的交叉项,然后引入新变量,对剩余变量重复这一过程,直到所有交叉项都被消去。右侧展示了这两种方法的计算过程。
惯性定理,也称为西尔维斯特惯性定律,是二次型理论中的重要定理。它指出,无论采用何种非奇异线性变换将二次型化为标准型,标准型中正系数、负系数和零系数的个数都是唯一的。这些数字具有重要意义:正系数的个数称为正惯性指数,负系数的个数称为负惯性指数,零系数的个数等于变量个数减去矩阵的秩。此外,矩阵的秩等于正负惯性指数之和,而正负惯性指数之差称为符号差。右侧展示了同一二次型通过不同方法得到的两种标准型,虽然系数不同,但它们的惯性指数是相同的:都有2个正系数和1个负系数。
让我们通过一个例题来演示二次型标准化的过程。给定二次型f(x₁, x₂, x₃) = 2x₁² + x₂² - 4x₃² - 4x₁x₂ + 2x₁x₃ + 4x₂x₃,我们将使用两种方法将其化为标准型。首先,使用正交变换法。我们写出对应的对称矩阵A,计算其特征值,得到λ₁=1, λ₂=2, λ₃=-4。因此,标准型为y₁² + 2y₂² - 4y₃²。其次,使用配方法。我们先对x₁进行配方,得到2(x₁ - x₂ + ½x₃)²,然后对剩余项继续配方,最终得到标准型2y₁² - y₂² + 9/2y₃²。虽然两种方法得到的标准型系数不同,但它们的惯性指数是相同的:都有2个正系数和1个负系数,这验证了惯性定理。