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欢迎来到线性代数中二次型及其标准型的讲解。二次型是一种特殊的多项式形式，它是变量的二次齐次多项式。在数学上，我们可以将二次型表示为变量的双重求和形式，或者更简洁地表示为矩阵形式X转置乘以矩阵A乘以X。这里的矩阵A是一个对称矩阵，即a_{ij}等于a_{ji}。右侧图形展示了一个简单的二次型z=x^2+y^2，它是一个抛物面。
二次型的标准型是指只包含平方项、没有交叉项的形式。我们可以通过非奇异线性变换X=PY，将原二次型转化为标准型。在标准型中，二次型表示为λ_1 y_1^2 + λ_2 y_2^2 + ... + λ_n y_n^2的形式，其中λ_i是对角矩阵D的对角元素。右侧图形展示了这一变换过程：左边是含有交叉项的椭圆（表示一般二次型），通过坐标变换，它被转化为右边与坐标轴平行的椭圆（表示标准型）。
二次型标准化有两种主要方法。第一种是正交变换法，它基于矩阵的特征值和特征向量。我们首先求出二次型对应的对称矩阵A，然后计算其特征值和特征向量，构造正交矩阵P，最终得到标准型。第二种是配方法，它通过代数运算逐步消去交叉项。我们选择一个变量进行配方，消去该变量与其他变量的交叉项，然后引入新变量，对剩余变量重复这一过程，直到所有交叉项都被消去。右侧展示了这两种方法的计算过程。
惯性定理，也称为西尔维斯特惯性定律，是二次型理论中的重要定理。它指出，无论采用何种非奇异线性变换将二次型化为标准型，标准型中正系数、负系数和零系数的个数都是唯一的。这些数字具有重要意义：正系数的个数称为正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数，零系数的个数等于变量个数减去矩阵的秩。此外，矩阵的秩等于正负惯性指数之和，而正负惯性指数之差称为符号差。右侧展示了同一二次型通过不同方法得到的两种标准型，虽然系数不同，但它们的惯性指数是相同的：都有2个正系数和1个负系数。
让我们通过一个例题来演示二次型标准化的过程。给定二次型f(x₁, x₂, x₃) = 2x₁² + x₂² - 4x₃² - 4x₁x₂ + 2x₁x₃ + 4x₂x₃，我们将使用两种方法将其化为标准型。首先，使用正交变换法。我们写出对应的对称矩阵A，计算其特征值，得到λ₁=1, λ₂=2, λ₃=-4。因此，标准型为y₁² + 2y₂² - 4y₃²。其次，使用配方法。我们先对x₁进行配方，得到2(x₁ - x₂ + ½x₃)²，然后对剩余项继续配方，最终得到标准型2y₁² - y₂² + 9/2y₃²。虽然两种方法得到的标准型系数不同，但它们的惯性指数是相同的：都有2个正系数和1个负系数，这验证了惯性定理。