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柯西不等式是数学中最重要的不等式之一，它描述了向量内积与向量范数之间的关系。最基本的形式是：向量内积的绝对值小于等于两个向量范数的乘积。从几何角度看，这表明两个向量的内积，等于第一个向量的长度乘以第二个向量在第一个向量方向上的投影长度。柯西不等式广泛应用于线性代数、分析学和概率论等多个数学领域。
柯西不等式有多种等价形式。向量形式表示为：向量内积的绝对值小于等于两个向量范数的乘积。实数序列形式表示为：两个序列对应项乘积的和的平方，小于等于各序列平方和的乘积。积分形式表示为：两个函数乘积的积分的平方，小于等于各函数平方的积分的乘积。等号成立的条件是两个向量线性相关，即一个向量是另一个向量的常数倍，或者其中一个向量为零向量。
柯西不等式的几何意义可以通过向量的内积来理解。两个向量的内积等于它们长度的乘积与它们夹角余弦的乘积。由于余弦函数的取值范围是负一到一，所以内积的绝对值不会超过两个向量长度的乘积。当两个向量平行时，即夹角为零度或一百八十度，等号成立。当向量夹角为九十度时，内积为零。这种几何解释直观地展示了柯西不等式的本质。