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三角函数是数学中连接角和三角形边长之间关系的函数。它们最初定义在直角三角形中，是锐角对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边等的比值。最基本的三角函数有正弦、余弦和正切。在直角三角形中，对于角θ，正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边，也等于正弦比余弦。
三角函数还可以通过单位圆来理解。单位圆是半径为1的圆，其中心位于坐标原点。在单位圆上，对于任意角度θ，点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。正切值则等于y坐标除以x坐标。这种定义扩展了三角函数的定义域，使其可以表示任意角度的值，而不仅限于直角三角形中的锐角。当点沿着单位圆移动时，我们可以直观地看到正弦和余弦值如何随角度变化。
三角函数的图像展示了它们的周期性和其他重要特性。正弦函数和余弦函数的图像都是波浪形的曲线，它们的周期为2π。这意味着当角度增加2π时，函数值会回到原点开始重复。正弦和余弦函数的值域都是[-1, 1]，表明它们是有界函数。正弦函数是奇函数，即sin(-θ)等于-sin(θ)；而余弦函数是偶函数，cos(-θ)等于cos(θ)。此外，正弦和余弦函数之间存在互补关系，sin(θ+π/2)等于cos(θ)。这些特性使三角函数在周期性现象的建模中非常有用。
三角恒等式是描述三角函数之间关系的等式。最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。这可以通过单位圆中的直角三角形来理解，其中斜边长度为1，两直角边分别为正弦和余弦值。加法公式描述了两个角的和的正弦和余弦，如sin(α+β)等于sinα·cosβ加上cosα·sinβ。倍角公式给出了角度翻倍时的三角函数值，如sin(2θ)等于2·sinθ·cosθ。半角公式则可以用来计算半角的三角函数值。这些恒等式在数学、物理和工程中有广泛应用，用于简化计算和解决复杂问题。
总结一下，三角函数是数学中连接角和三角形边长关系的重要函数。基本三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。通过单位圆的定义，三角函数的定义域扩展到了全体实数。三角函数具有周期性、有界性和奇偶性等重要特性。三角恒等式包括勾股恒等式、加法公式、倍角公式和半角公式等，它们在简化计算和解决问题中非常有用。三角函数在几何学、物理学、工程学和信号处理等众多领域有广泛应用，是数学中最基础也最实用的函数之一。