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向量是既有大小又有方向的量。在数学和物理学中，向量用来表示需要同时考虑大小和方向的物理量，例如速度、力和加速度等。向量通常用带箭头的线段表示，箭头的长度代表向量的大小，也称为模，而箭头的指向代表向量的方向。在坐标系中，向量可以用坐标来表示，例如二维向量可以表示为(x,y)。
向量可以用多种方式表示。几何表示法是最直观的，用带箭头的线段表示向量，箭头的长度表示大小，箭头的指向表示方向。代数表示法则用有序数对或n元组表示，例如二维向量可以表示为(x,y)。在这个例子中，向量v可以表示为(2,1)，其中2是x分量，1是y分量。这些分量可以看作向量在坐标轴上的投影。物理表示法则直接给出向量的大小和方向，例如'大小为5的向东方向的力'。
向量的基本运算包括向量加法、减法和标量乘法。向量加法遵循头尾相接法则，即将第二个向量的起点放在第一个向量的终点，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，得到的向量就是它们的和。向量减法可以理解为加上相反向量，即a减b等于a加上负b。标量乘法则是将向量的每个分量乘以同一个标量，结果是改变向量的大小，当标量为负数时还会改变方向。
向量的高级运算包括点积和叉积。点积，也称为内积，是两个向量的乘积，结果是一个标量。点积等于两个向量长度的乘积再乘以它们夹角的余弦值。点积在物理学中表示功的概念，当两向量垂直时，点积为零。叉积，也称为外积，是两个向量的另一种乘积，结果是一个向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面。叉积的大小等于两个向量长度的乘积再乘以它们夹角的正弦值。叉积在物理学中表示力矩，在几何学中可以用来计算平行四边形的面积。
向量在科学和工程领域有广泛的应用。在物理学中，许多物理量如力、速度、加速度都是向量。牛顿第二定律F等于ma就是一个向量方程。在工程学中，向量用于分析结构、流体动力学和电磁场。在计算机图形学中，向量用于表示三维空间中的点、方向和表面法线，是3D渲染的基础。向量的点积和叉积在计算光照效果和碰撞检测中尤为重要。总之，向量是一种既有大小又有方向的量，它的表示方法多样，基本运算包括加法、减法和标量乘法，高级运算包括点积和叉积，在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。