视频字幕
我们来解这道三角函数问题。已知余弦和角等于m，两个角的正切值的乘积等于2，求余弦差角的值。首先，我们需要用到三角函数的和角公式、差角公式以及正切函数的定义。余弦和角公式是余弦α余弦β减去正弦α正弦β。余弦差角公式是余弦α余弦β加上正弦α正弦β。正切函数定义为正弦除以余弦。
让我们开始解题。首先，根据余弦和角公式，我们知道余弦α加β等于余弦α余弦β减去正弦α正弦β，这个值等于m。根据正切的定义，正切α乘以正切β等于正弦α正弦β除以余弦α余弦β，这个值等于2。从第二个等式，我们可以得到正弦α正弦β等于2乘以余弦α余弦β。将这个关系代入第一个等式，我们得到余弦α余弦β减去2乘以余弦α余弦β等于m。化简后得到负余弦α余弦β等于m，因此余弦α余弦β等于负m。这是我们的第一个重要结果。
现在，我们继续解题。根据前面的结果，余弦α余弦β等于负m，我们可以计算正弦α正弦β的值。由于正弦α正弦β等于2乘以余弦α余弦β，所以正弦α正弦β等于2乘以负m，即负2m。接下来，我们利用余弦差角公式，余弦α减β等于余弦α余弦β加上正弦α正弦β。将我们求得的值代入，得到余弦α减β等于负m加上负2m，即负3m。因此，余弦α减β等于负3m，对应选项A。
让我们总结一下这道题的解题思路。首先，我们利用三角函数的和角公式和差角公式，从已知条件余弦α加β等于m和正切α乘以正切β等于2入手。我们将正切α乘以正切β等于2转换为正弦α正弦β与余弦α余弦β的关系，得到正弦α正弦β等于2乘以余弦α余弦β。然后，我们从余弦和角公式求解出余弦α余弦β等于负m，进而得到正弦α正弦β等于负2m。最后，将这两个结果代入余弦差角公式，得到余弦α减β等于负3m，因此答案是A选项。这道题考察了三角函数的和差角公式以及正切函数与正弦、余弦函数之间的关系。
最后，让我们总结一下这道题涉及的重要三角函数知识点。首先是和角公式，余弦α加β等于余弦α余弦β减去正弦α正弦β。其次是差角公式，余弦α减β等于余弦α余弦β加上正弦α正弦β。还有正切函数与正弦、余弦的关系，正切α等于正弦α除以余弦α。解题的关键技巧是将复杂的三角关系转化为基本函数关系，比如我们将正切α乘以正切β等于2转化为正弦α正弦β与余弦α余弦β的关系。在计算过程中，要特别注意正负号的变化，避免计算错误。这些三角函数知识在三角恒等式证明、三角方程求解、几何问题中的角度计算以及物理学中的波动和振动分析等领域有广泛应用。