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二次函数是一种多项式函数，其最高次项的次数为2。二次函数的一般形式是f(x)等于ax的平方加bx加c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。这个条件很重要，因为如果a等于0，函数就变成了一次函数。图中展示的是最简单的二次函数f(x)等于x的平方，它的图像是一条抛物线。
二次函数的图像是一条抛物线，它有几个重要特征。首先，抛物线的开口方向由系数a决定：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。图中蓝色的抛物线a为正，开口向上；红色的抛物线a为负，开口向下。其次，抛物线有一条对称轴，其位置是x等于负b除以2a。抛物线上有一个特殊点叫顶点，它是抛物线的最高点或最低点，坐标为负b除以2a和对应的函数值。最后，抛物线与y轴的交点坐标是0和c。
二次函数可以通过变换得到不同的图像。首先是平移变换，当我们将函数f(x)等于x的平方改写为a乘以x减h的平方加k的形式时，图像会发生平移，其中(h,k)就是抛物线的顶点坐标。例如，函数g(x)等于(x-2)的平方加1，它的图像是将f(x)等于x的平方向右平移2个单位，再向上平移1个单位，顶点变为(2,1)。其次是伸缩变换，系数a的绝对值决定了抛物线的宽窄。当|a|增大时，抛物线变窄；当|a|减小时，抛物线变宽。例如，函数h(x)等于0.5x的平方，它的图像比f(x)等于x的平方更宽。
二次函数在现实生活中有广泛的应用。在物理学中，抛物运动是二次函数的典型应用。当物体在重力作用下抛出后，其高度h随时间t的变化可以用二次函数h(t)等于负二分之一g乘以t的平方加上初速度v0乘以t再加上初始高度h0来描述，形成一条抛物线轨迹。在经济学中，许多成本、收益和利润函数都可以用二次函数来建模。在几何学中，二次函数常用于解决面积最大或最小的优化问题。在工程学中，桥梁的悬索结构和抛物面天线的设计都应用了二次函数的性质。
总结一下，二次函数是形如f(x)等于ax的平方加bx加c的函数，其中a不等于0。二次函数的图像是抛物线，开口方向由系数a的符号决定：a大于0时开口向上，a小于0时开口向下。抛物线的顶点坐标为负b除以2a和对应的函数值，这是抛物线的最高点或最低点。二次函数可以通过平移和伸缩变换得到不同形式，如标准形式f(x)等于a乘以x减h的平方加k，其中(h,k)是顶点坐标。二次函数在物理、经济、几何和工程等领域有广泛的应用，如描述抛物运动、成本收益分析、面积优化问题和桥梁设计等。