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微积分是研究变化率和累积量的数学分支，而极限是微积分的基础概念。极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的行为。例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限表示为L。在图中，我们可以看到当x趋近于2时，函数值趋近于1，即使在x=2点函数值可能不等于1或不存在。极限概念为导数和积分奠定了基础。
导数是微积分中的核心概念，它描述了函数的瞬时变化率。导数定义为函数在某一点的切线斜率，可以通过极限来表示。数学上，导数f'(x)等于当h趋近于0时，函数增量与自变量增量之比的极限。在图中，我们可以看到函数f(x)=x平方除以3在x=2点的导数是4/3，表示为切线的斜率。黄色和橙色线是割线，当我们减小dx值时，割线逐渐接近绿色切线。导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率，物理意义是瞬时变化率。
积分是微积分的另一个核心概念，它描述了累积量的计算。积分分为不定积分和定积分。不定积分是求导的逆运算，表示为函数f(x)的原函数F(x)加上一个常数C。定积分表示为函数在区间[a,b]上的积分等于原函数在区间端点的差值。在图中，绿色区域表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即曲线下的面积。黄色矩形表示黎曼和，当矩形数量增加时，黎曼和会越来越接近真实的积分值。定积分的几何意义是曲线下的面积，物理意义是累积变化量，例如位移是速度对时间的积分。
微积分基本定理揭示了导数与积分之间的内在联系，是微积分中最重要的定理。该定理分为两部分。第一部分指出，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在区间[a,b]上的定积分等于F(b)减F(a)。第二部分指出，如果f是连续函数，定义函数F(x)为f从a到x的定积分，则F的导数等于f。在图中，蓝色曲线是函数f(x)，红色曲线是其原函数F(x)。绿色区域表示从a到x的定积分，即f(x)曲线下的面积。这个面积恰好等于F(x)减F(a)，即黄色括号所示的距离。这个定理建立了微分和积分作为互逆运算的关系，是微积分的核心。
让我们总结微积分的核心原理。首先，极限是微积分的基础，它描述了函数在自变量趋近于某一点时的行为。其次，导数表示函数的瞬时变化率，其几何意义是函数图像在该点的切线斜率。第三，积分计算累积量，不定积分是导数的逆运算，即求原函数。第四，定积分的几何意义是曲线下的面积，物理意义是累积变化量。最后，微积分基本定理揭示了导数与积分的互逆关系，是连接微分学和积分学的桥梁。这些概念共同构成了微积分的理论基础，广泛应用于科学、工程和经济等领域。