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黎曼猜想是数学中最著名的未解决问题之一，由德国数学家伯恩哈德·黎曼于1859年提出。它关注的是黎曼ζ函数的零点分布，与素数分布有着深刻联系。这个猜想至今仍未被证明，是数学界的一个重大挑战。
黎曼ζ函数最初定义为无穷级数ζ(s)等于1/n的s次方的无穷求和，其中s是复数，当s的实部大于1时，这个级数收敛。通过解析延拓，函数可以扩展到整个复平面，除了s=1处的极点。在复平面上，函数有两类零点：平凡零点位于负偶数上，而非平凡零点则分布在临界带内，即实部在0到1之间的区域。黎曼猜想正是关于这些非平凡零点的位置。
黎曼猜想的核心内容是：所有非平凡零点的实部都等于1/2。换句话说，所有非平凡零点都位于复平面上实部等于1/2的直线上，这条线被称为"临界线"。这些非平凡零点位于"临界带"内，即实部在0到1之间的区域。尽管数学家已经通过计算机验证了前10万亿个非平凡零点确实都位于临界线上，但这并不构成对猜想的严格证明。证明黎曼猜想需要找到一个适用于所有非平凡零点的数学证明。
黎曼猜想与素数分布有着深刻的联系。素数计数函数π(x)表示不超过x的素数个数，而对数积分函数Li(x)是对π(x)的一个很好的近似。如果黎曼猜想成立，那么素数计数函数π(x)与Li(x)之间的误差项可以得到最优上界，即误差不会超过根号x乘以对数x的常数倍。这将使我们对素数分布规律有更精确的理解。黎曼通过研究ζ函数的零点分布，建立了素数分布与复分析之间的桥梁，这是数学中最美丽的联系之一。
黎曼猜想被认为是数学中最重要的未解决问题之一。它是克莱数学研究所七个千禧年问题之一，证明它可以获得100万美元的奖金。如果黎曼猜想被证明成立，将对素数理论和数论的多个分支产生深远影响。这个猜想的研究已经推动了复分析、算术几何和量子力学等多个领域的发展。许多重要的数学定理都是以"假设黎曼猜想成立"为前提条件的。正是因为它与数学中如此多的领域有着深刻联系，黎曼猜想被誉为"数学皇冠上的明珠"。