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函数是一种数学关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素与另一个集合（值域）中的唯一一个元素关联起来。函数通常表示为y等于f(x)，其中x是输入（自变量），f(x)是输出（因变量）。在这个例子中，我们看到一个抛物线函数f(x)等于x的平方。对于定义域中的每一个x值，函数都会产生一个确定的y值。这种一一对应的关系是函数的核心特征。
函数有许多不同的类型。线性函数是最简单的函数形式，表示为y等于ax加b，其图像是一条直线。二次函数表示为y等于ax平方加bx加c，其图像是一条抛物线。指数函数表示为y等于a的x次方，随着x的增加而快速增长。对数函数是指数函数的反函数。三角函数包括正弦、余弦和正切等，它们描述了周期性变化的关系。在图中，蓝线表示线性函数，红线表示二次函数，绿线表示正弦函数。
三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的函数，也可以通过单位圆来定义。在直角三角形中，正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，正切函数定义为对边除以邻边，也等于正弦除以余弦。在单位圆中，对于角度θ，点的x坐标等于余弦值，y坐标等于正弦值。这种定义使得三角函数可以应用于任意角度，而不仅仅是直角三角形中的锐角。
三角函数具有许多重要的性质。首先是周期性，例如正弦函数每2π重复一次。其次是奇偶性，正弦是奇函数，余弦是偶函数。第三是有界性，正弦和余弦的值始终在-1到1之间。第四是互补性，正弦和余弦函数之间存在互补关系。第五是基本恒等式，正弦平方加余弦平方等于1。从图像上看，正弦函数（蓝线）从0开始，在π/2处达到最大值1，在π处回到0，在3π/2处达到最小值-1，然后在2π处再次回到0。余弦函数（红线）则从1开始，在π/2处为0，在π处达到最小值-1，在3π/2处回到0，最后在2π处回到1。
让我们总结一下今天学习的内容。函数是一种数学关系，它将定义域中的每个元素与值域中的唯一元素关联起来。常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。三角函数描述了直角三角形中角度与边长的关系，也可以通过单位圆来定义。基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。三角函数具有周期性、奇偶性、有界性等重要性质，在物理学、工程学、信号处理等领域有着广泛的应用。