三角函数是数学中描述角度与边长关系的重要函数。基本的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。在本视频中,我们将讨论这些函数的基本性质,包括定义域和值域、周期性、奇偶性以及单调性。通过单位圆,我们可以直观地理解三角函数。当点在单位圆上移动时,其横坐标表示余弦值,纵坐标表示正弦值。
三角函数的定义域和值域各不相同。正弦函数和余弦函数的定义域都是整个实数集,它们的值域都是闭区间[-1, 1]。正切函数的定义域是除了形如nπ+π/2的所有实数,其中n为整数;它的值域是整个实数集。余切函数的定义域是除了整数倍π的所有实数,其值域也是整个实数集。正割和余割函数的值域则是实数集中绝对值大于等于1的部分。从图中我们可以看到,正弦和余弦函数的曲线始终在-1到1之间波动。
周期性是三角函数的重要特性,指的是函数值会按照固定的周期重复。正弦、余弦、正割和余割函数的周期都是2π,这意味着当自变量增加2π时,函数值会回到原来的值。例如,sin(x + 2π) = sin(x)。而正切和余切函数的周期是π,当自变量增加π时,函数值会重复。从图中我们可以看到,正弦函数每2π就会完成一个完整的周期,而正切函数每π就会完成一个周期。这种周期性质使得三角函数在描述周期性现象时非常有用,比如声波、光波、交流电等。
三角函数可以分为奇函数和偶函数两类。奇函数满足f(-x) = -f(x),其图像关于原点对称;偶函数满足f(-x) = f(x),其图像关于y轴对称。在六个基本三角函数中,正弦、正切、余切和余割是奇函数,而余弦和正割是偶函数。从图中可以看出,正弦函数在x轴取相反的值时,y值也取相反值,表现为点对称;而余弦函数在x轴取相反的值时,y值保持不变,表现为轴对称。这一性质在函数变换和积分计算中有重要应用。
三角函数在不同区间有不同的单调性。正弦函数在[0, π/2]上递增,在[π/2, π]上递减;余弦函数在[0, π]上递减;正切函数在(0, π/2)上递增。除了单调性外,三角函数还有许多重要的关系式。最基本的是勾股定理的三角函数形式:sin²x + cos²x = 1,可以在单位圆中直观理解。其他重要关系还包括tan x = sin x / cos x,cot x = cos x / sin x,以及sec x = 1 / cos x,csc x = 1 / sin x。这些关系式使得三角函数成为一个紧密联系的函数族,在数学和物理中有广泛应用。
三角函数的定义域和值域各不相同。正弦函数和余弦函数的定义域都是整个实数集,它们的值域都是闭区间[-1, 1]。正切函数的定义域是除了形如nπ+π/2的所有实数,其中n为整数;它的值域是整个实数集。余切函数的定义域是除了整数倍π的所有实数,其值域也是整个实数集。正割和余割函数的值域则是实数集中绝对值大于等于1的部分。从图中我们可以看到,正弦和余弦函数的曲线始终在-1到1之间波动。
周期性是三角函数的重要特性,指的是函数值会按照固定的周期重复。正弦、余弦、正割和余割函数的周期都是2π,这意味着当自变量增加2π时,函数值会回到原来的值。例如,sin(x + 2π) = sin(x)。而正切和余切函数的周期是π,当自变量增加π时,函数值会重复。从图中我们可以看到,正弦函数每2π就会完成一个完整的周期,而正切函数每π就会完成一个周期。这种周期性质使得三角函数在描述周期性现象时非常有用,比如声波、光波、交流电等。
三角函数可以分为奇函数和偶函数两类。奇函数满足f(-x) = -f(x),其图像关于原点对称;偶函数满足f(-x) = f(x),其图像关于y轴对称。在六个基本三角函数中,正弦、正切、余切和余割是奇函数,而余弦和正割是偶函数。从图中可以看出,正弦函数在x轴取相反的值时,y值也取相反值,表现为点对称;而余弦函数在x轴取相反的值时,y值保持不变,表现为轴对称。这一性质在函数变换和积分计算中有重要应用。
三角函数在不同区间有不同的单调性。正弦函数在[0, π/2]上递增,在[π/2, π]上递减;余弦函数在[0, π]上递减;正切函数在(0, π/2)上递增。除了单调性外,三角函数还有许多重要的关系式。最基本的是勾股定理的三角函数形式:sin²x + cos²x = 1,可以在单位圆中直观理解。其他重要关系还包括tan x = sin x / cos x,cot x = cos x / sin x,以及sec x = 1 / cos x,csc x = 1 / sin x。这些关系式使得三角函数成为一个紧密联系的函数族,在数学和物理中有广泛应用。