三角函数是数学中描述角度与边长关系的重要函数。基本的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。在本视频中，我们将讨论这些函数的基本性质，包括定义域和值域、周期性、奇偶性以及单调性。通过单位圆，我们可以直观地理解三角函数。当点在单位圆上移动时，其横坐标表示余弦值，纵坐标表示正弦值。
三角函数的定义域和值域各不相同。正弦函数和余弦函数的定义域都是整个实数集，它们的值域都是闭区间[-1, 1]。正切函数的定义域是除了形如nπ+π/2的所有实数，其中n为整数；它的值域是整个实数集。余切函数的定义域是除了整数倍π的所有实数，其值域也是整个实数集。正割和余割函数的值域则是实数集中绝对值大于等于1的部分。从图中我们可以看到，正弦和余弦函数的曲线始终在-1到1之间波动。
周期性是三角函数的重要特性，指的是函数值会按照固定的周期重复。正弦、余弦、正割和余割函数的周期都是2π，这意味着当自变量增加2π时，函数值会回到原来的值。例如，sin(x + 2π) = sin(x)。而正切和余切函数的周期是π，当自变量增加π时，函数值会重复。从图中我们可以看到，正弦函数每2π就会完成一个完整的周期，而正切函数每π就会完成一个周期。这种周期性质使得三角函数在描述周期性现象时非常有用，比如声波、光波、交流电等。
三角函数可以分为奇函数和偶函数两类。奇函数满足f(-x) = -f(x)，其图像关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，其图像关于y轴对称。在六个基本三角函数中，正弦、正切、余切和余割是奇函数，而余弦和正割是偶函数。从图中可以看出，正弦函数在x轴取相反的值时，y值也取相反值，表现为点对称；而余弦函数在x轴取相反的值时，y值保持不变，表现为轴对称。这一性质在函数变换和积分计算中有重要应用。
三角函数在不同区间有不同的单调性。正弦函数在[0, π/2]上递增，在[π/2, π]上递减；余弦函数在[0, π]上递减；正切函数在(0, π/2)上递增。除了单调性外，三角函数还有许多重要的关系式。最基本的是勾股定理的三角函数形式：sin²x + cos²x = 1，可以在单位圆中直观理解。其他重要关系还包括tan x = sin x / cos x，cot x = cos x / sin x，以及sec x = 1 / cos x，csc x = 1 / sin x。这些关系式使得三角函数成为一个紧密联系的函数族，在数学和物理中有广泛应用。
三角函数的定义域和值域各不相同。正弦函数和余弦函数的定义域都是整个实数集，它们的值域都是闭区间[-1, 1]。正切函数的定义域是除了形如nπ+π/2的所有实数，其中n为整数；它的值域是整个实数集。余切函数的定义域是除了整数倍π的所有实数，其值域也是整个实数集。正割和余割函数的值域则是实数集中绝对值大于等于1的部分。从图中我们可以看到，正弦和余弦函数的曲线始终在-1到1之间波动。
周期性是三角函数的重要特性，指的是函数值会按照固定的周期重复。正弦、余弦、正割和余割函数的周期都是2π，这意味着当自变量增加2π时，函数值会回到原来的值。例如，sin(x + 2π) = sin(x)。而正切和余切函数的周期是π，当自变量增加π时，函数值会重复。从图中我们可以看到，正弦函数每2π就会完成一个完整的周期，而正切函数每π就会完成一个周期。这种周期性质使得三角函数在描述周期性现象时非常有用，比如声波、光波、交流电等。
三角函数可以分为奇函数和偶函数两类。奇函数满足f(-x) = -f(x)，其图像关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，其图像关于y轴对称。在六个基本三角函数中，正弦、正切、余切和余割是奇函数，而余弦和正割是偶函数。从图中可以看出，正弦函数在x轴取相反的值时，y值也取相反值，表现为点对称；而余弦函数在x轴取相反的值时，y值保持不变，表现为轴对称。这一性质在函数变换和积分计算中有重要应用。
三角函数在不同区间有不同的单调性。正弦函数在[0, π/2]上递增，在[π/2, π]上递减；余弦函数在[0, π]上递减；正切函数在(0, π/2)上递增。除了单调性外，三角函数还有许多重要的关系式。最基本的是勾股定理的三角函数形式：sin²x + cos²x = 1，可以在单位圆中直观理解。其他重要关系还包括tan x = sin x / cos x，cot x = cos x / sin x，以及sec x = 1 / cos x，csc x = 1 / sin x。这些关系式使得三角函数成为一个紧密联系的函数族，在数学和物理中有广泛应用。