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三角函数是数学中的重要函数，包括正弦、余弦、正切等。它们具有许多重要性质，包括定义域与值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性以及基本恒等式。在这个系列中，我们将详细探讨这些性质。首先，让我们看看正弦和余弦函数的图像，它们展示了这些函数的基本特征。
三角函数的周期性是指当自变量增加一个周期T后，函数值保持不变。正弦和余弦函数的周期是2π，这意味着sin(x+2π)等于sin(x)，cos(x+2π)等于cos(x)。而正切和余切函数的周期是π，即tan(x+π)等于tan(x)，cot(x+π)等于cot(x)。从图中可以看到，正弦函数每2π重复一次，而正切函数每π就重复一次。这种周期性质在三角函数的应用中非常重要。
三角函数的奇偶性是指函数关于原点或y轴的对称性。奇函数满足f(-x)等于-f(x)，图像关于原点对称；偶函数满足f(-x)等于f(x)，图像关于y轴对称。在三角函数中，正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数都是奇函数，而余弦函数和正割函数是偶函数。从图中可以看到，正弦函数的图像关于原点对称，体现了奇函数的特性；而余弦函数的图像关于y轴对称，体现了偶函数的特性。这些对称性质在解决三角函数问题时非常有用。
三角函数在不同区间内具有不同的单调性。正弦函数在区间[2nπ-π/2, 2nπ+π/2]上单调递增，在区间[2nπ+π/2, 2nπ+3π/2]上单调递减。余弦函数在区间[2nπ-π, 2nπ]上单调递增，在区间[2nπ, 2nπ+π]上单调递减。正切函数在其定义域内的每个区间(nπ-π/2, nπ+π/2)上都是单调递增的。这些单调性质与函数的导数密切相关：当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减。理解三角函数的单调性对解决相关问题非常有帮助。
三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：sin²θ加cos²θ等于1，这可以从单位圆中直观理解。类似地，1加tan²θ等于sec²θ，1加cot²θ等于csc²θ。此外，还有加法公式：sin(x±y)等于sinx·cosy±cosx·siny，cos(x±y)等于cosx·cosy∓sinx·siny。倍角公式也很重要：sin2x等于2sinx·cosx，cos2x有多种等价形式。这些恒等式在数学、物理、工程等领域有广泛应用，是解决三角函数问题的基础工具。