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因式分解是将代数表达式写成其因子的乘积形式，是展开的逆过程。例如，我们可以将二次表达式 x平方加5x加6 分解为 (x加2)乘以(x加3)。这种分解让我们能够找到方程的根，即使函数等于零的点。在图中，我们可以看到这个二次函数的图像与x轴相交于x等于负2和x等于负3的点，这正是因式分解后得到的两个因式的零点。
提取公因式是最基本的因式分解方法。首先，我们需要找出表达式中所有项的公因数，然后将这个公因数提到括号外面。例如，在表达式2x加4中，2是两项的公因数。我们可以将其重写为2乘以x加2乘以2，然后提取公因数2，得到2乘以括号x加2。同样地，对于3xy减6x平方，我们可以提取公因数3x，得到3x乘以括号y减2x。这种方法也适用于含有多个项的表达式，如ax加ay加az，可以提取公因数a，得到a乘以括号x加y加z。
分解二次三项式是因式分解中的重要内容。对于形如 x平方加bx加c 的二次三项式，我们需要找到两个数p和q，使得它们的乘积等于c，和等于b。然后，我们可以将原式写成(x加p)(x加q)的形式。例如，对于x平方加5x加6，我们需要找到两个数，它们的乘积是6，和是5。这两个数是2和3，所以x平方加5x加6等于(x加2)(x加3)。当二次项系数a不等于1时，方法稍有不同。我们需要找到两个数p和q，使得它们的乘积等于ac，和等于b。然后将bx拆分为px加qx，通过分组提取公因式来完成分解。
平方差公式是另一种常见的因式分解方法，适用于形如a平方减b平方的表达式。根据这个公式，a平方减b平方可以分解为(a减b)(a加b)。例如，x平方减9可以看作x平方减3的平方，因此可以分解为(x减3)(x加3)。同样，4y平方减25可以看作(2y)平方减5的平方，分解为(2y减5)(2y加5)。在图形上，我们可以看到x平方减9的图像与x轴相交于x等于正负3的点，这正是因式分解后得到的两个因式的零点。这个公式在几何上也有直观解释：一个大正方形减去一个小正方形的面积，等于一个矩形的面积，这个矩形的长和宽分别是a加b和a减b。
让我们总结一下因式分解的主要内容。因式分解是将代数表达式写成其因子的乘积形式，是展开的逆过程。我们学习了几种常见的因式分解方法：首先是提取公因式，如2x加4等于2乘以括号x加2；其次是分解二次三项式，如x平方加5x加6等于括号x加2乘以括号x加3；然后是平方差公式，如x平方减9等于括号x减3乘以括号x加3；最后是分组分解，适用于有四项的表达式，如ax加ay加bx加by等于括号a加b乘以括号x加y。因式分解在数学中有广泛应用，它可以帮助我们解方程，找出方程的根；简化代数表达式；以及处理分数表达式。掌握这些因式分解技巧对于IGCSE数学学习非常重要。