三元一次方程是含有三个未知数，且每个未知数的最高次数为1的方程。它的标准形式可以写成 a x 加 b y 加 c z 等于 d，其中 x、y、z 是未知数，a、b、c、d 是常数，且 a、b、c 不全为零。在几何上，三元一次方程表示三维空间中的一个平面。
三元一次方程组由三个三元一次方程组成，标准形式如图所示。在几何上，每个方程表示三维空间中的一个平面，三个平面的交点就是方程组的解。根据平面的相对位置，方程组可能有唯一解、无解或无穷多解。常用的求解方法包括代入法、消元法、克莱默法则和矩阵方法。
让我们用消元法求解一个三元一次方程组的例题。给定方程组如左侧所示。首先，我们用第一个方程消去第二个方程中的x，得到新的第二个方程。然后，用第一个方程消去第三个方程中的x，得到新的第三个方程。接着，用第二个方程消去第三个方程中的y，得到只含z的方程。解得z等于3，代回可得y等于2，x等于1。在几何上，这三个平面相交于点(1,2,3)，这就是方程组的解。
三元一次方程组可以用矩阵形式表示，即Ax等于b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量。例如，我们前面讨论的方程组可以写成矩阵形式如左侧所示。求解矩阵方程的方法包括高斯消元法、逆矩阵法和克莱默法则。使用逆矩阵法，我们可以得到x等于A的逆乘以b。计算得到的解向量是(1,2,3)，与我们之前用消元法得到的结果一致。
总结一下，三元一次方程是含有三个未知数，且每个未知数的最高次数为1的方程。三元一次方程组由三个三元一次方程组成，通常有唯一解、无解或无穷多解。从几何角度看，三元一次方程表示三维空间中的平面，方程组的解是三个平面的交点。常用的求解方法包括消元法、代入法、克莱默法则和矩阵方法。三元一次方程组可以用矩阵形式表示为Ax等于b，其中A是系数矩阵，这种表示方法使得我们可以应用线性代数的工具来求解方程组。