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指数函数是形如y等于a的x次方的函数，其中a是常数，且满足a大于0且a不等于1，x是自变量。指数函数的定义域是所有实数，值域是所有正实数。指数函数有一个重要性质：图像恒过点(0,1)。当底数a大于1时，如蓝色曲线所示，函数单调递增；当底数a在0到1之间时，如绿色曲线所示，函数单调递减。
指数函数满足多种重要的运算性质，包括：a的x+y次方等于a的x次方乘以a的y次方；a的x-y次方等于a的x次方除以a的y次方；a的x次方的y次方等于a的xy次方；a的负x次方等于1除以a的x次方。指数函数在现实生活中有广泛应用，例如复利计算、人口增长模型和放射性衰变等。右图展示了复利计算的例子：如果本金为1，年利率为10%，10年后本金将增长到约2.59倍。
自然指数函数是以自然常数e为底的指数函数，e约等于2.71828。自然指数函数f(x)=e^x具有非常特殊的性质：它的导数等于函数本身，即d/dx(e^x)=e^x；它的积分也等于函数本身，即∫e^x dx=e^x+C。这一特性使得e^x在微积分和微分方程中有着广泛应用。在图中，我们可以看到e^x函数的图像，以及在点(0,1)处的切线，该切线的斜率恰好为1，这正是函数在该点的导数值。自然指数函数在连续复利、指数增长或衰减模型以及微分方程中都有重要应用。
对数函数是指数函数的反函数。对数函数y=log_a x的定义是：若a^y=x，则y=log_a x，其中a大于0且不等于1。对数函数的定义域是所有正实数，值域是所有实数。指数函数和对数函数互为反函数，因此有log_a(a^x)=x和a^(log_a x)=x这两个重要性质。特别地，以自然常数e为底的对数称为自然对数，记作ln x。自然对数和自然指数函数之间有ln(e^x)=x和e^(ln x)=x的关系。在图中，蓝色曲线是y=e^x，红色曲线是y=ln x，它们关于直线y=x对称。这种对称性正是反函数的几何体现。
让我们总结一下指数函数的主要特点。指数函数的一般形式是y等于a的x次方，其中底数a必须大于0且不等于1。指数函数的定义域是所有实数，值域是所有正实数。指数函数的图像恒过点(0,1)；当底数a大于1时，函数单调递增；当底数a在0到1之间时，函数单调递减。自然指数函数e的x次方具有特殊性质：它的导数等于函数本身，这使它在微积分和微分方程中占有特殊地位。指数函数在现实生活中有广泛应用，包括复利计算、人口增长模型、放射性衰变等领域。理解指数函数的性质对于学习高等数学和应用数学至关重要。