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这个问题要求我们确定一个值a，使得平面x加2y加3z等于a与曲面z等于x平方加y平方相切。我们可以看到这个曲面是一个开口向上的抛物面，而平面有固定的法向量(1,2,3)。当平面与曲面相切时，它们在切点处有相同的法向量方向。
要找到切点，我们需要满足两个条件。首先，切点必须同时位于曲面和平面上。其次，在切点处，曲面和平面的法向量必须平行。曲面z等于x平方加y平方的法向量是(2x₀, 2y₀, -1)，而平面x加2y加3z等于a的法向量是(1, 2, 3)。这两个法向量平行意味着它们之间存在一个非零常数k，使得平面法向量等于k乘以曲面法向量。
现在我们来求解切点坐标。从法向量平行条件，我们得到k等于负3。代入方程，我们可以求出x₀等于负六分之一，y₀等于负三分之一。由于切点在曲面上，z₀等于x₀平方加y₀平方，计算得z₀等于三十六分之五。有了切点坐标，我们可以求解参数a。将切点坐标代入平面方程x加2y加3z等于a，经过计算，我们得到a等于负十二分之五。这就是使平面成为曲面切平面的参数值。
让我们在三维空间中可视化切平面与曲面的关系。我们已经确定参数a等于负十二分之五，因此切平面方程为x加2y加3z等于负十二分之五。切点坐标为负六分之一，负三分之一，三十六分之五。在这个切点处，曲面的法向量为负三分之一，负三分之二，负一，而平面的法向量为1，2，3。可以验证这两个法向量是平行的，平面法向量等于负3乘以曲面法向量。这证明了我们的解是正确的。
让我们总结一下这个切平面问题的解法。我们需要确定参数a，使平面x加2y加3z等于a成为曲面z等于x平方加y平方的切平面。解题的关键是利用两个条件：切点同时位于曲面和平面上，以及在切点处曲面和平面的法向量平行。通过法向量平行条件，我们确定了切点坐标为负六分之一，负三分之一，三十六分之五。将切点坐标代入平面方程，我们求得参数a等于负十二分之五。这种解法体现了微分几何中切平面的几何意义，也展示了如何利用法向量平行条件解决切平面问题。