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二重积分是多元函数微积分中的重要概念，它是定积分在二维区域上的推广。设函数f(x,y)定义在平面有界闭区域D上。将区域D任意分成n个小闭区域，在每个小区域上任取一点，作和式。当各小区域的直径的最大值趋于零时，如果和式的极限存在，且此极限值与区域的分割方法及点的取法无关，则称此极限为函数在区域D上的二重积分。二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积。
二重积分具有以下重要性质：首先是线性性质，常数可以提到积分号外面，和的积分等于积分的和。其次是区域可加性，如果区域D被分成两个不重叠的子区域D1和D2，那么在整个区域D上的积分等于在子区域上积分的和。第三是比较性质，如果在区域D上函数f小于等于函数g，那么f的积分也小于等于g的积分。最后是积分中值定理，如果函数在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点，使得积分值等于该点函数值乘以区域的面积。
二重积分的计算通常转化为两次定积分的计算，即利用累次积分。在直角坐标系下，有三种常见的情况：第一种是矩形区域，积分限为常数；第二种是X型区域，也称为上下型，其中x的范围是常数区间，而y的上下限是x的函数；第三种是Y型区域，也称为左右型，其中y的范围是常数区间，而x的左右限是y的函数。计算时，先对内层变量积分，将外层变量视为常数，得到一个关于外层变量的函数，再对外层变量积分。
当被积函数含有x²+y²项，或积分区域是圆域、扇形域或环形域时，通常采用极坐标变换可以简化计算。变换公式为：x等于r乘以cosθ，y等于r乘以sinθ。面积元素变换为：dx dy等于r dr dθ。在极坐标系下，区域D'通常可以表示为α≤θ≤β，r₁(θ)≤r≤r₂(θ)的形式。此时积分计算为：对θ从α到β积分，对r从r₁(θ)到r₂(θ)积分，被积函数为f(r cosθ, r sinθ)乘以r。
让我们通过一个例题来理解二重积分的计算。计算二重积分∬D(x+2y)dxdy，其中区域D由直线y=x，y=2x和x=1围成。首先，我们确定积分区域：D是由这三条直线围成的三角形区域，交点为(0,0)，(1,1)和(1,2)。然后，我们将D视为X型区域，确定积分次序和积分限：对于0≤x≤1，y的范围是从下边界y=x到上边界y=2x。所以积分限为0≤x≤1，x≤y≤2x。接下来，我们计算累次积分：先对y积分，得到4x²；再对x积分，得到最终结果为4/3。