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二重积分是多元函数微积分中的重要概念,它是定积分在二维区域上的推广。设函数f(x,y)定义在平面有界闭区域D上。将区域D任意分成n个小闭区域,在每个小区域上任取一点,作和式。当各小区域的直径的最大值趋于零时,如果和式的极限存在,且此极限值与区域的分割方法及点的取法无关,则称此极限为函数在区域D上的二重积分。二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积。
二重积分具有以下重要性质:首先是线性性质,常数可以提到积分号外面,和的积分等于积分的和。其次是区域可加性,如果区域D被分成两个不重叠的子区域D1和D2,那么在整个区域D上的积分等于在子区域上积分的和。第三是比较性质,如果在区域D上函数f小于等于函数g,那么f的积分也小于等于g的积分。最后是积分中值定理,如果函数在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点,使得积分值等于该点函数值乘以区域的面积。
二重积分的计算通常转化为两次定积分的计算,即利用累次积分。在直角坐标系下,有三种常见的情况:第一种是矩形区域,积分限为常数;第二种是X型区域,也称为上下型,其中x的范围是常数区间,而y的上下限是x的函数;第三种是Y型区域,也称为左右型,其中y的范围是常数区间,而x的左右限是y的函数。计算时,先对内层变量积分,将外层变量视为常数,得到一个关于外层变量的函数,再对外层变量积分。
当被积函数含有x²+y²项,或积分区域是圆域、扇形域或环形域时,通常采用极坐标变换可以简化计算。变换公式为:x等于r乘以cosθ,y等于r乘以sinθ。面积元素变换为:dx dy等于r dr dθ。在极坐标系下,区域D'通常可以表示为α≤θ≤β,r₁(θ)≤r≤r₂(θ)的形式。此时积分计算为:对θ从α到β积分,对r从r₁(θ)到r₂(θ)积分,被积函数为f(r cosθ, r sinθ)乘以r。
让我们通过一个例题来理解二重积分的计算。计算二重积分∬D(x+2y)dxdy,其中区域D由直线y=x,y=2x和x=1围成。首先,我们确定积分区域:D是由这三条直线围成的三角形区域,交点为(0,0),(1,1)和(1,2)。然后,我们将D视为X型区域,确定积分次序和积分限:对于0≤x≤1,y的范围是从下边界y=x到上边界y=2x。所以积分限为0≤x≤1,x≤y≤2x。接下来,我们计算累次积分:先对y积分,得到4x²;再对x积分,得到最终结果为4/3。