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三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。这个恒等式可以从单位圆中直观理解，其中正弦是y坐标，余弦是x坐标。其他基本恒等式包括正切平方加1等于正割平方，余切平方加1等于余割平方。还有商数关系，如正切等于正弦除以余弦，余切等于余弦除以正弦。以及倒数关系，如正弦等于余割的倒数，余弦等于正割的倒数，正切等于余切的倒数。
和差角公式是三角函数中最重要的公式之一。正弦和差角公式表示：正弦α加β等于正弦α乘以余弦β，加上余弦α乘以正弦β。正弦α减β等于正弦α乘以余弦β，减去余弦α乘以正弦β。余弦和差角公式表示：余弦α加β等于余弦α乘以余弦β，减去正弦α乘以正弦β。余弦α减β等于余弦α乘以余弦β，加上正弦α乘以正弦β。正切和差角公式表示：正切α加β等于正切α加正切β除以1减去正切α乘以正切β。正切α减β等于正切α减正切β除以1加上正切α乘以正切β。这些公式在三角函数的计算和证明中非常有用。
倍角公式和半角公式是三角函数中的重要公式。倍角公式用于计算角度翻倍后的三角函数值。正弦的倍角公式是：正弦2θ等于2倍的正弦θ乘以余弦θ。余弦的倍角公式有多种形式：余弦2θ等于余弦θ的平方减去正弦θ的平方，也等于2倍余弦θ的平方减1，还等于1减去2倍正弦θ的平方。正切的倍角公式是：正切2θ等于2倍正切θ除以1减去正切θ的平方。半角公式用于计算角度减半后的三角函数值。正弦半角公式是：正弦θ/2等于正负根号下（1减余弦θ除以2）。余弦半角公式是：余弦θ/2等于正负根号下（1加余弦θ除以2）。正切半角公式是：正切θ/2等于正弦θ除以（1加余弦θ），也等于（1减余弦θ）除以正弦θ。
积化和差公式和和差化积公式是三角函数中的重要变换公式。积化和差公式将两个三角函数的乘积转化为和差形式。例如，正弦α乘以余弦β等于二分之一乘以正弦α加β加上正弦α减β。余弦α乘以正弦β等于二分之一乘以正弦α加β减去正弦α减β。余弦α乘以余弦β等于二分之一乘以余弦α加β加上余弦α减β。正弦α乘以正弦β等于二分之一乘以余弦α减β减去余弦α加β。和差化积公式则将三角函数的和差转化为积的形式。例如，正弦α加正弦β等于2倍的正弦α加β除以2乘以余弦α减β除以2。正弦α减正弦β等于2倍的余弦α加β除以2乘以正弦α减β除以2。余弦α加余弦β等于2倍的余弦α加β除以2乘以余弦α减β除以2。余弦α减余弦β等于负2倍的正弦α加β除以2乘以正弦α减β除以2。这些公式在三角函数的积分、信号处理等领域有广泛应用。
万能公式是一组特殊的三角函数公式，它们使用正切半角来表示所有三角函数。正弦θ等于2倍正切θ/2除以1加正切θ/2的平方。余弦θ等于1减正切θ/2的平方除以1加正切θ/2的平方。正切θ等于2倍正切θ/2除以1减正切θ/2的平方。这些公式在积分和微分方程中特别有用，因为它们可以将三角函数转化为有理函数。让我们总结一下三角函数的重要公式：基本恒等式包括正弦平方加余弦平方等于1等；和差角公式用于计算两个角的和或差的三角函数值；倍角公式用于计算角度翻倍后的三角函数值；半角公式用于计算角度减半后的三角函数值；积化和差与和差化积公式用于三角函数积与和的相互转换；万能公式用正切半角表示所有三角函数。这些公式在数学、物理、工程等领域有广泛应用。