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欢迎学习立体几何中的最小角定理。这个定理指出，一条直线与一个平面所成的角，是这条直线与平面内过交点的所有直线所成角中最小的角。在图中，我们可以看到直线l与平面相交于点A，l'是l在平面上的投影，m是平面内过点A的另一条直线。直线l与平面所成的角θ是直线l与其投影l'所成的角，而φ是直线l与平面内任意直线m所成的角。根据最小角定理，θ总是小于或等于φ。
让我们来理解直线与平面所成角的定义。如图所示，直线l与平面相交于点A，l'是l在平面上的投影线。直线l与平面所成的角θ定义为直线l与其投影线l'所成的角。注意，点B'是点B在平面上的投影点，线段BB'垂直于平面。在直角三角形BAB'中，角θ就是直线l与平面所成的角。这个角的范围是0度到90度。
现在我们来证明最小角定理。首先，设直线l与平面P相交于点A，l'是l在平面上的投影线。在平面P内任取一条过点A的直线m。我们要证明直线l与平面P所成的角θ小于等于直线l与直线m所成的角φ。在直线l上取一点B，B'是B在平面上的投影点。从点B向直线m作垂线，垂足为D。在直角三角形BAB'中，sinθ等于BB'除以AB。在直角三角形BAD中，sinφ等于BD除以AB。因为BB'是点B到平面的距离，而BD是点B到平面内直线m的距离，所以BD大于等于BB'。因此，sinφ大于等于sinθ。由于θ和φ都在0到90度之间，在这个范围内正弦函数是单调递增的，所以φ大于等于θ。等号成立当且仅当直线m与投影线l'重合。
最小角定理在立体几何中有广泛的应用。首先，它可以用来求直线与平面所成的角。例如，给定直线l和平面P₁，我们可以找出直线l在平面P₁上的投影线，然后计算它们之间的夹角。其次，最小角定理可以用来求空间中两条异面直线所成的角。我们可以过其中一条直线作一个平面，使另一条直线与这个平面相交，然后应用最小角定理。第三，它可以用来求二面角的大小，如图中平面P₁和平面P₂所形成的二面角。最后，最小角定理还可以用来解决空间几何中的最短距离问题，比如点到平面的距离、点到直线的距离等。这些应用使最小角定理成为立体几何中的重要工具。
让我们总结一下立体几何中的最小角定理。最小角定理指出，直线与平面所成的角是直线与平面内过交点的所有直线所成角中最小的角。这个角定义为直线与其在平面上的投影线所成的角。我们通过证明点到平面的距离小于等于点到平面内直线的距离，从而得出sinθ小于等于sinφ，进而证明θ小于等于φ。最小角定理在立体几何中有广泛应用，包括求直线与平面所成的角、异面直线所成的角、二面角等问题。在计算中，我们可以使用向量公式：若直线l的方向向量为v，平面的法向量为n，则cosθ等于v点乘n的绝对值除以它们的模长之积。掌握最小角定理对于解决立体几何问题非常重要。