视频字幕
双重积分是多元微积分中的重要概念，用于计算二维区域上的函数积分。数学上表示为在区域D上对函数f(x,y)的积分。这里D是一个二维区域，f(x,y)是被积函数，dA是面积元素。直观地理解，双重积分计算的是函数f(x,y)在区域D上的体积。
计算双重积分的主要方法是将其转化为累次积分。根据积分区域的形状，我们可以选择先对y积分再对x积分，或者先对x积分再对y积分。对于矩形区域，两种积分顺序通常都很方便。例如，在这个矩形区域中，我们可以将双重积分表示为先对y从y1(x)到y2(x)积分，再对x从a到b积分；或者先对x从x1(y)到x2(y)积分，再对y从c到d积分。选择哪种积分顺序取决于积分区域的形状和被积函数的特点，目标是使计算尽可能简单。
在计算双重积分时，我们需要根据积分区域的形状来选择合适的积分顺序。常见的积分区域类型有三种：第一种是x型区域，可以表示为x从a到b，y从g1(x)到g2(x)的区域。在这种情况下，我们通常先对y积分，再对x积分。第二种是y型区域，可以表示为y从c到d，x从h1(y)到h2(y)的区域。此时，我们通常先对x积分，再对y积分。第三种是一般区域，可以分解为x型或y型区域的并集或交集。图中展示的是一个典型的x型区域，其中x从a到b，y从下边界函数g1(x)到上边界函数g2(x)。
对于某些特殊形状的积分区域，如圆形、扇形，或者当被积函数中含有x平方加y平方这样的项时，使用坐标变换可以大大简化计算。最常用的是极坐标变换，其中x等于r乘以余弦θ，y等于r乘以正弦θ。在这种变换下，面积元素dA变为r乘以dr乘以dθ。这个额外的r因子来自于雅可比行列式，它表示坐标变换导致的面积变化。使用极坐标后，双重积分变为对r和θ的积分，其中被积函数中的x和y都用r和θ表示。图中黄色区域表示极坐标下的一个微小面积元素，其面积为r乘以dr乘以dθ。这种变换特别适用于圆形区域或被积函数中含有x平方加y平方的情况。
让我们通过一个具体例子来说明双重积分的计算过程。考虑计算在以原点为中心、半径为2的圆盘区域D上，函数f(x,y)等于x平方加y平方的双重积分。首先，我们确定积分区域D，即满足x平方加y平方小于等于4的点集。由于积分区域是圆形，且被积函数中含有x平方加y平方，使用极坐标变换是最合适的。在极坐标下，x等于r乘以余弦θ，y等于r乘以正弦θ，积分区域变为r从0到2，θ从0到2π。将被积函数代入极坐标表达式，我们得到r平方乘以余弦θ的平方加r平方乘以正弦θ的平方，这等于r平方。考虑到面积元素dA变为r乘以dr乘以dθ，整个积分变为对r的三次方从0到2积分，再对θ从0到2π积分。计算得到结果为8π。从几何角度看，这个积分表示函数z等于x平方加y平方在圆盘区域上的体积。