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机械臂手眼标定是确定相机坐标系与机械臂末端执行器坐标系之间的空间变换关系。这种变换关系通常表示为一个4×4的齐次变换矩阵，包含旋转和平移信息。手眼标定的目的是实现基于视觉的机器人任务，例如视觉引导抓取、精确放置和视觉检测等。在这个示意图中，我们可以看到机械臂的基坐标系、末端执行器坐标系、相机坐标系以及标定靶标坐标系。手眼标定的核心任务就是求解从末端执行器坐标系到相机坐标系的变换矩阵T_EC。
手眼标定涉及多个坐标系统，主要包括机械臂基坐标系、末端执行器坐标系、相机坐标系和标定靶标坐标系。根据相机的安装位置，手眼标定可分为两种配置：眼在手上和眼在手外。眼在手上配置中，相机安装在机械臂末端，我们需要求解从末端执行器坐标系到相机坐标系的变换矩阵T_EC。而在眼在手外配置中，相机固定在工作空间中，我们需要求解从相机坐标系到机械臂基坐标系的变换矩阵T_CB。这两种配置各有优缺点，选择哪种配置取决于具体的应用场景和任务需求。
手眼标定的数学模型基于坐标变换关系。以眼在手上配置为例，我们可以建立方程：T_BT等于T_BE乘以T_EC再乘以T_CT。其中，T_BE是机械臂基坐标系到末端执行器坐标系的变换，通过机器人正运动学获得；T_CT是标定靶标坐标系到相机坐标系的变换，通过相机视觉算法计算；T_BT是标定靶标坐标系到机械臂基坐标系的变换，在整个过程中保持不变；而T_EC是我们要求解的未知变换。当机械臂移动到不同位姿时，我们可以得到多组方程，整理后得到经典的AX=XB形式，其中X是未知的手眼变换，A是机械臂末端的相对运动，B是标定靶标在相机坐标系下的相对运动。这些变换矩阵都是4×4的齐次变换矩阵，包含旋转矩阵R和平移向量t。
手眼标定的实现过程主要包括三个步骤：数据采集、计算变换矩阵和求解方程。首先，在数据采集阶段，我们需要将标定靶标放置在合适位置，然后移动机械臂到多个不同的位姿，通常需要10到20个位姿以确保足够的精度。在每个位姿下，我们记录机械臂末端执行器相对于基坐标系的位姿，以及相机拍摄的标定靶标图像。第二步是计算变换矩阵，通过机械臂正运动学计算T_BE，通过相机视觉算法计算T_CT。第三步是求解方程，我们构建AX=XB方程组，将其分解为旋转和平移部分分别求解，通常使用最小二乘法等优化方法来提高标定精度和鲁棒性。最后，我们可以通过实际的视觉引导任务来验证标定结果的准确性。
总结一下，手眼标定是确定相机坐标系与机械臂末端执行器坐标系之间的空间变换关系，这对于实现基于视觉的机器人任务至关重要。手眼标定主要涉及四个坐标系：机械臂基坐标系、末端执行器坐标系、相机坐标系和标定靶标坐标系。其数学模型基于坐标变换关系，通过在不同机械臂位姿下采集的数据，建立一个包含未知变换的方程，最终形成经典的AX=XB形式。实现手眼标定的步骤包括数据采集、计算变换矩阵和求解方程。手眼标定技术广泛应用于视觉引导抓取、精确放置、视觉检测等机器人任务，是实现机器人智能操作的基础技术之一。