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曲线积分是微积分中的重要概念,用于计算沿曲线的积分。它主要分为两种类型:对弧长的曲线积分,也称为标量场上的曲线积分;以及对坐标的曲线积分,也称为向量场上的曲线积分。在图中,我们可以看到一条曲线C,从点A到点B。对于标量场,我们计算沿曲线的函数值与弧长微元的乘积;对于向量场,我们计算向量场与位移微元的点积。
标量场上的曲线积分,也称为对弧长的曲线积分,计算的是沿曲线的标量函数与弧长微元的乘积积分。计算这类积分的步骤如下:首先,我们需要参数化曲线C,得到位置向量r(t)。然后,计算弧长微元ds,它等于位置向量导数的模乘以dt。接着,将曲线参数化代入被积函数f中。然后,设置定积分,形式为f(r(t))乘以r'(t)的模再乘以dt。最后,计算这个定积分。在图中,绿色箭头表示切向量,其长度对应于弧长微元ds,而曲面表示标量场。
向量场上的曲线积分,也称为对坐标的曲线积分,计算的是向量场与位移微元的点积沿曲线的积分。计算这类积分的步骤如下:首先,我们同样需要参数化曲线C,得到位置向量r(t)。然后,计算位移微元dr,它等于位置向量导数乘以dt。接着,将曲线参数化代入向量场F中。然后,计算向量场F(r(t))与位移微元r'(t)的点积。接下来,设置定积分,形式为F(r(t))点乘r'(t)再乘以dt。最后,计算这个定积分。在图中,绿色箭头表示位移微元dr,蓝色箭头表示向量场F,它们的点积F·dr是我们要沿曲线积分的量。
让我们通过一个具体示例来说明向量场上的曲线积分计算。考虑向量场F等于(y, -x),我们要计算它沿单位圆的曲线积分。首先,我们参数化单位圆,得到r(t)等于(cos t, sin t),其中t从0到2π。然后,计算位移微元,r'(t)等于(-sin t, cos t),所以dr等于(-sin t, cos t)dt。接着,将参数化代入向量场,得到F(r(t))等于(sin t, -cos t)。计算点积F(r(t))点乘r'(t),得到-sin²t减cos²t,这等于-1。设置定积分,从0到2π积分-1dt。最后,计算定积分得到-2π。在图中,黄点沿单位圆移动,绿色箭头表示位移微元dr,蓝色箭头表示向量场F,它们的点积始终为-1。
曲线积分在物理学和工程学中有广泛的应用。例如,向量场的曲线积分可以用来计算力沿路径做功,表示为W等于力F沿位移dr的积分。一个重要的性质是,对于保守场,曲线积分的值只与起点和终点有关,与具体路径无关。这意味着在闭合曲线上,保守场的曲线积分为零。格林公式是另一个重要结果,它将闭合曲线上的曲线积分转化为区域上的二重积分,表示为曲线积分等于旋度的面积分。这些性质使曲线积分成为分析电磁场、流体力学和热力学等领域问题的强大工具。