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微积分是数学的一个重要分支，主要研究变化率和累积。它由两个主要部分组成：微分学和积分学。微分学研究函数的变化率，例如曲线上某点的斜率，而积分学研究累积效应，例如曲线下的面积。这两个概念通过微积分基本定理紧密相连。
极限是微积分的基础概念，它描述了函数在某一点附近的行为。通过极限，我们可以精确定义导数和积分。例如，当x趋近于某个值a时，函数f(x)的极限是L，表示为当x无限接近a但不等于a时，f(x)无限接近L。在图中，我们可以看到函数在x等于2处有一个跳跃，从左侧趋近于2，从右侧趋近于3，这说明该点的左极限和右极限不相等，因此该点的极限不存在。
微分学是微积分的第一个主要分支，其核心概念是导数。导数表示函数在某一点的变化率，几何上，它代表了函数图像在该点的切线斜率。导数的定义是，当h趋近于0时，函数值的变化量与自变量的变化量之比的极限。例如，对于函数f(x)等于x的平方，它在任意点x处的导数是2x。在图中，我们可以看到在x等于2处，导数值为4，这正是该点切线的斜率。
积分学是微积分的第二个主要分支，研究的是累积效应。定积分可以用来计算曲线下的面积、物体的体积等物理量。定积分的定义是，将区间分成n个小区间，计算每个小区间上函数值与区间宽度的乘积之和，然后取n趋向于无穷大时的极限。在图中，我们展示了函数f(x)等于x的平方从0到3的定积分，可以通过计算得到结果是9。这个值代表了曲线下方的面积。黄色的矩形表示了一种近似计算定积分的方法，称为黎曼和。
微积分基本定理揭示了微分学和积分学之间的深刻联系。它表明，定积分可以通过求原函数（也称为不定积分）来计算。具体来说，如果F是f的一个原函数，即F'(x)等于f(x)，那么f从a到b的定积分等于F(b)减去F(a)。在图中，蓝色曲线是函数f(x)等于x的平方，红色曲线是它的一个原函数F(x)等于三分之一x的立方。根据微积分基本定理，f(x)从1到3的定积分等于F(3)减去F(1)，即9减去三分之一，结果是三分之二十六。这个值正好等于蓝色曲线下从1到3的面积。