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微積分是數學中研究連續變化的重要分支。它主要分為兩個部分：微分學和積分學。微分學研究函數的變化率，例如曲線上某點的斜率，這在圖中由紅色切線表示。積分學則研究量的累積，例如曲線下的面積，在圖中由綠色區域表示。這兩個概念是互相關聯的，共同構成了微積分的核心。
微分學研究函數的變化率。它的基礎是極限概念，即當x無限接近某個值a時，函數f(x)趨近於某個值L。導數是微分學的核心，它表示函數在某點的瞬時變化率。從幾何角度看，導數就是函數圖形在該點的切線斜率。在這個例子中，當我們沿著曲線移動點時，切線的斜率不斷變化，這個斜率就是該點的導數值。對於函數f(x)=x平方，其導數f'(x)=2x，隨著x值的增加，導數值也隨之增加。
積分學研究量的累積。不定積分，也稱為反導數，是微分的逆運算。如果一個函數的導數是f(x)，那麼它的不定積分就是F(x)+C，其中F'(x)=f(x)，C是任意常數。定積分表示函數在特定區間上的累積總量，幾何上代表函數圖形與x軸所圍成的面積。例如，函數f(x)=x平方從0到b的定積分等於b的三次方除以3，這就是圖中綠色區域的面積。當我們增加上限b時，積分值（面積）也隨之增加。
微積分基本定理是微積分中最重要的定理，它建立了微分學和積分學之間的聯繫。定理指出，如果F是f的一個反導數，那麼f在區間[a,b]上的定積分等於F(b)減去F(a)。這個定理有三個重要意義：首先，它證明了微分和積分是互逆的運算；其次，它提供了計算定積分的有效方法，不需要通過面積的定義來計算；最後，它是現代科學和工程中不可或缺的數學工具。在圖中，藍色區域表示函數f(x)=x平方從a到b的定積分，而綠色曲線是其反導數F(x)=x的三次方除以3。根據微積分基本定理，藍色區域的面積等於F(b)減F(a)，即紅色箭頭所示的差值。
總結一下，微積分是研究連續變化的數學分支，主要包括兩個相互關聯的部分：微分學和積分學。微分學研究函數的瞬時變化率，導數是其核心概念，它描述了函數在某點的變化速度。積分學研究量的累積，定積分表示函數曲線下的面積。微積分基本定理建立了微分和積分之間的聯繫，證明它們是互逆的運算過程。微積分的應用非常廣泛，包括物理學中的運動分析、工程學中的優化設計、經濟學中的邊際分析以及生物學中的種群增長模型等。微積分為我們提供了一套強大的工具，幫助我們理解和分析自然界中的連續變化現象。