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导数是函数在某一点的瞬时变化率。它描述了当自变量发生微小变化时，函数值变化的快慢程度。在图像上，导数表示为函数在某点的切线斜率。斜率越大，函数在该点变化得越快。
导数的几何意义是函数在某点的切线斜率。对于函数f(x)=x²，在点x处的导数是2x，即切线的斜率。当x值变化时，切线的斜率也随之变化。斜率越大，表示函数在该点变化得越快。例如，当x=2时，斜率为4，函数变化较快；当x=0.5时，斜率为1，函数变化较慢。
导数是通过极限来定义的。考虑函数f(x)在点x处的变化率。我们先看一个小的区间，从x到x+Δx，函数在这个区间上的平均变化率是Δy除以Δx，也就是(f(x+Δx) - f(x))除以Δx。当Δx趋近于零时，这个平均变化率就变成了瞬时变化率，也就是导数。数学上表示为极限：f'(x) = lim(Δx→0)[(f(x+Δx) - f(x))/Δx]。
让我们来看一些常见函数的导数计算。对于幂函数f(x) = x的n次方，其导数是f'(x) = n乘以x的n-1次方。对于指数函数f(x) = e的x次方，其导数仍然是e的x次方。对于三角函数f(x) = sin x，其导数是f'(x) = cos x。这个例子在图上可以直观地看到：正弦函数的导数是余弦函数，表示正弦函数在不同点的变化率。当我们沿着x轴移动时，可以观察到正弦函数的切线斜率恰好等于对应点的余弦值。
总结一下，导数是函数在某一点的瞬时变化率，它的几何意义是函数在该点的切线斜率。从代数上看，导数是通过极限定义的：f'(x) = lim(Δx→0)[(f(x+Δx) - f(x))/Δx]。导数在各个领域有广泛应用，例如在物理学中，位置函数的导数是速度，速度的导数是加速度；在经济学中，导数可以表示边际成本和边际收益，帮助决策者做出最优决策。导数是微积分的基础概念，对于理解和解决变化率问题至关重要。