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微分方程是包含未知函数及其导数的方程。它们描述了变量之间的变化率关系。例如，方程dy/dx等于y是一个简单的微分方程，它表示函数的导数等于函数本身。指数函数y等于e的x次方就是这个微分方程的解，因为它在任何点的斜率都等于函数值。
微分方程可以分为两大类：常微分方程和偏微分方程。常微分方程，简称ODE，只包含一个自变量的导数，例如二阶线性常微分方程d²y/dx² + 5dy/dx + 6y = 0。图中展示的是一个阻尼振动的例子，它是二阶常微分方程的解。偏微分方程，简称PDE，包含多个自变量的偏导数，如拉普拉斯方程∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。热传导方程是一个常见的偏微分方程例子，它描述了温度随时间和空间的变化。
微分方程有多种解法，常见的包括：分离变量法，适用于可以将方程变形为各变量分离的形式；一阶线性方程的积分因子法；高阶线性方程的特征方程法和常数变易法；以及数值方法，如欧拉法和龙格-库塔法。右侧展示了分离变量法解一阶微分方程的例子。对于方程dy/dx = xy，我们将变量分离得到dy/y = x dx，然后两边积分，得到ln|y| = x²/2 + C，最终解为y = Ce的x²/2次方。图中蓝色曲线是不同初始条件下的解曲线族。
微分方程在各个领域都有广泛应用。在物理学中，牛顿运动定律、波动方程和热传导方程都是微分方程。工程学中的电路分析、结构振动和控制系统也依赖于微分方程。生物学中的种群动态、疾病传播和神经元模型同样可以用微分方程描述。经济学中的增长模型和金融衍生品定价也使用微分方程。右侧展示了一个生物学应用例子：Logistic种群增长模型。方程dP/dt = rP(1-P/K)描述了种群数量P随时间t的变化，其中r是增长率，K是环境容纳量。曲线显示种群从初始值P₀=10开始，最终趋近于环境容纳量K=80。
总结一下，微分方程是包含未知函数及其导数的方程，它们可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。解微分方程的方法有很多，包括分离变量法、积分因子法和各种数值方法等。微分方程在物理学、工程学、生物学和经济学等众多领域都有广泛应用。它们是描述自然界变化规律的强大数学工具，帮助我们理解和预测各种动态系统的行为。