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质数是大于1的自然数，除了1和它本身外不能被其他自然数整除。要证明一个数是质数，最基本的方法是试除法，即尝试用小于该数的所有数去除它。如果没有一个数能整除它，那么它就是质数。为了提高效率，我们只需要检查不超过该数平方根的所有数。在数轴上，我们可以看到2、3、5、7、11、13、17和19是20以内的所有质数。
让我们用一个具体的例子来说明如何证明一个数是质数。我们以17为例。首先，计算17的平方根，约等于4.12。这意味着我们只需要检查2到4之间的所有整数是否能整除17。我们逐一检查：17除以2等于8余1，不能整除；17除以3等于5余2，不能整除；17除以4等于4余1，也不能整除。由于没有小于或等于17平方根的整数能整除17，所以我们可以确定17是一个质数。
为了提高试除法的效率，我们可以采用几种优化策略。首先，我们只需要检查到被测数的平方根。这是因为如果一个数n有一个大于其平方根的因子a，那么它必然有一个小于其平方根的因子b，使得a乘以b等于n。其次，我们只需要检查质数是否能整除被测数。因为如果一个数不能被任何质数整除，那么它也不能被任何合数整除。第三，我们可以先检查2，然后只检查奇数，因为除了2以外的所有质数都是奇数。以29为例，我们只需要检查到5（29的平方根约为5.4），并且只需要检查质数2、3和5。由于29不能被这些数整除，所以29是质数。
现在，让我们将这些优化策略实现为一个Python算法。这个算法首先处理特殊情况：小于2的数不是质数，2是质数，偶数（除了2）不是质数。然后，它只检查到被测数的平方根，并且只检查奇数。这大大提高了算法的效率。我们可以用这个算法来测试一些数字。例如，7是质数，因为它只有1和7两个因子；15不是质数，因为它有1、3、5和15四个因子；23是质数；36不是质数，它有多个因子；97是质数。通过这种方法，我们可以快速判断一个数是否为质数。
总结一下，质数是大于1的自然数，除了1和它本身外不能被其他自然数整除。试除法是最基本的质数判定方法，通过尝试除以小于该数的所有数来判断一个数是否为质数。为了提高效率，我们可以采用几种优化策略：首先，只需检查到被测数的平方根；其次，先检查2，然后只检查奇数；最后，只需检查质数是否能整除被测数。通过这些方法，我们可以有效地证明一个数是否为质数。