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混沌函数是在动力系统中表现出混沌行为的数学函数。它们的主要特征是对初始条件极端敏感，这意味着微小的初始差异会随时间指数级放大，导致完全不同的结果。尽管混沌函数是确定性的，但其长期行为却是不可预测的。右侧展示的是著名的Logistic Map函数，它是研究混沌理论的经典例子。当参数r接近4时，这个简单函数会表现出复杂的混沌行为。
蝴蝶效应是混沌理论中最著名的概念，它描述了混沌系统对初始条件的极端敏感性。在这种系统中，微小的初始差异会随时间指数级放大，导致完全不同的结果。这个名称来源于气象学家洛伦兹的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，可能在几周后引发德克萨斯州的一场龙卷风。右侧的分岔图展示了Logistic Map随参数r变化的行为。当r小于3.57时，系统表现出稳定行为。但当r继续增大，系统经历一系列分岔，最终在r接近4时进入完全混沌状态，此时初始条件的微小变化会导致完全不同的轨迹。