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乘法分配律是代数运算的基本法则之一,表示乘法对加法或减法的分配性质。公式表示为:a乘以b加c等于a乘以b加上a乘以c,以及a乘以b减c等于a乘以b减去a乘以c。让我们通过一个例子来理解:当a等于5,b等于3,c等于4时,我们可以看到a乘以b加c等于5乘以7等于35,这与a乘以b加上a乘以c,即5乘以3加上5乘以4,等于15加20等于35的结果相同。这就是乘法分配律。
乘法结合律是代数运算的另一个基本法则,表示三个或更多数相乘时,先乘哪两个数不会影响最终结果。公式表示为:a乘以b再乘以c,等于a乘以b乘以c。让我们通过一个例子来理解:当a等于2,b等于3,c等于4时,我们可以先计算a乘以b得到6,再乘以c得到24;或者先计算b乘以c得到12,再乘以a也得到24。无论我们如何组合这些乘法,最终结果都是相同的。这就是乘法结合律的意义。
分配律和结合律可以帮助我们简化计算,特别是在处理复杂表达式时。例如,计算25乘以13时,我们可以使用分配律。首先,将13拆分为10加3,然后分别计算25乘以10和25乘以3,最后将结果相加。这样,25乘以13等于25乘以10加上25乘以3,等于250加75,得到325。再看一个例子:计算2乘以25乘以4。使用结合律,我们可以先计算2乘以25得到50,再乘以4得到200;或者先计算25乘以4得到100,再乘以2也得到200。无论我们如何组合这些乘法,最终结果都是相同的。这些运算律帮助我们更灵活地进行计算。
分配律和结合律在代数表达式的化简和展开中有广泛应用。例如,展开表达式(a+b)²。我们可以将其写为(a+b)(a+b),然后使用分配律,得到a(a+b)+b(a+b)。再次使用分配律,得到a²+ab+ba+b²。由于乘法交换律,ab等于ba,所以最终结果是a²+2ab+b²。这个结果可以通过几何图形直观理解:一个边长为(a+b)的正方形,可以分解为一个边长为a的正方形(面积为a²),两个a×b的矩形(面积共为2ab),和一个边长为b的正方形(面积为b²)。再看一个因式分解的例子:ax+ay+bx+by。使用分配律,我们可以将其重写为a(x+y)+b(x+y),然后提取公因式(x+y),得到(a+b)(x+y)。这些例子展示了分配律在代数运算中的强大作用。
总结一下,我们学习了两个重要的代数运算定律。乘法分配律告诉我们,一个数与一个和的乘积,等于这个数分别与和的各项相乘后的和,即a乘以b加c等于a乘以b加上a乘以c。乘法结合律告诉我们,三个数相乘,无论先乘哪两个数,最终结果都相同,即a乘以b再乘以c,等于a乘以b乘以c。这两个定律是代数运算的基础,帮助我们简化计算和处理代数表达式。它们在数学、物理和工程等领域有广泛应用,是学习更高级数学概念的基础。掌握这些定律,将使我们能够更有效地解决各种数学问题。