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乘法分配律是代数运算的基本法则之一，表示乘法对加法或减法的分配性质。公式表示为：a乘以b加c等于a乘以b加上a乘以c，以及a乘以b减c等于a乘以b减去a乘以c。让我们通过一个例子来理解：当a等于5，b等于3，c等于4时，我们可以看到a乘以b加c等于5乘以7等于35，这与a乘以b加上a乘以c，即5乘以3加上5乘以4，等于15加20等于35的结果相同。这就是乘法分配律。
乘法结合律是代数运算的另一个基本法则，表示三个或更多数相乘时，先乘哪两个数不会影响最终结果。公式表示为：a乘以b再乘以c，等于a乘以b乘以c。让我们通过一个例子来理解：当a等于2，b等于3，c等于4时，我们可以先计算a乘以b得到6，再乘以c得到24；或者先计算b乘以c得到12，再乘以a也得到24。无论我们如何组合这些乘法，最终结果都是相同的。这就是乘法结合律的意义。
分配律和结合律可以帮助我们简化计算，特别是在处理复杂表达式时。例如，计算25乘以13时，我们可以使用分配律。首先，将13拆分为10加3，然后分别计算25乘以10和25乘以3，最后将结果相加。这样，25乘以13等于25乘以10加上25乘以3，等于250加75，得到325。再看一个例子：计算2乘以25乘以4。使用结合律，我们可以先计算2乘以25得到50，再乘以4得到200；或者先计算25乘以4得到100，再乘以2也得到200。无论我们如何组合这些乘法，最终结果都是相同的。这些运算律帮助我们更灵活地进行计算。
分配律和结合律在代数表达式的化简和展开中有广泛应用。例如，展开表达式(a+b)²。我们可以将其写为(a+b)(a+b)，然后使用分配律，得到a(a+b)+b(a+b)。再次使用分配律，得到a²+ab+ba+b²。由于乘法交换律，ab等于ba，所以最终结果是a²+2ab+b²。这个结果可以通过几何图形直观理解：一个边长为(a+b)的正方形，可以分解为一个边长为a的正方形（面积为a²），两个a×b的矩形（面积共为2ab），和一个边长为b的正方形（面积为b²）。再看一个因式分解的例子：ax+ay+bx+by。使用分配律，我们可以将其重写为a(x+y)+b(x+y)，然后提取公因式(x+y)，得到(a+b)(x+y)。这些例子展示了分配律在代数运算中的强大作用。
总结一下，我们学习了两个重要的代数运算定律。乘法分配律告诉我们，一个数与一个和的乘积，等于这个数分别与和的各项相乘后的和，即a乘以b加c等于a乘以b加上a乘以c。乘法结合律告诉我们，三个数相乘，无论先乘哪两个数，最终结果都相同，即a乘以b再乘以c，等于a乘以b乘以c。这两个定律是代数运算的基础，帮助我们简化计算和处理代数表达式。它们在数学、物理和工程等领域有广泛应用，是学习更高级数学概念的基础。掌握这些定律，将使我们能够更有效地解决各种数学问题。