لحل معادلة جيب التمام زائد الجيب يساوي واحد، نستخدم صيغة آر. نكتب الطرف الأيسر على صورة آر ضرب جيب تمام الزاوية إكس ناقص ألفا. لإيجاد قيمة آر، نحسب الجذر التربيعي لمجموع مربعات المعاملات. وبما أن معامل جيب التمام ومعامل الجيب كلاهما يساوي واحد، فإن آر يساوي الجذر التربيعي لاثنين. ولإيجاد ألفا، نستخدم العلاقات المثلثية حيث جيب تمام ألفا يساوي واحد على الجذر التربيعي لاثنين، وجيب ألفا يساوي واحد على الجذر التربيعي لاثنين. وهذا يعني أن ألفا تساوي باي على أربعة.
بعد تطبيق صيغة آر، نحصل على المعادلة الجذر التربيعي لاثنين ضرب جيب تمام إكس ناقص باي على أربعة يساوي واحد. نقسم الطرفين على الجذر التربيعي لاثنين، فنحصل على جيب تمام إكس ناقص باي على أربعة يساوي واحد على الجذر التربيعي لاثنين. نعلم أن جيب التمام يساوي واحد على الجذر التربيعي لاثنين عندما تكون الزاوية تساوي زائد أو ناقص باي على أربعة زائد مضاعفات باي على اثنين. وهذا يعني أن إكس ناقص باي على أربعة تساوي زائد أو ناقص باي على أربعة زائد مضاعفات باي على اثنين.
لإيجاد الحلول النهائية، نحل المعادلة إكس ناقص باي على أربعة يساوي زائد أو ناقص باي على أربعة زائد مضاعفات باي على اثنين. في الحالة الأولى، عندما إكس ناقص باي على أربعة تساوي باي على أربعة زائد مضاعفات باي على اثنين، نحصل على إكس تساوي باي على اثنين زائد مضاعفات باي على اثنين. وفي الحالة الثانية، عندما إكس ناقص باي على أربعة تساوي ناقص باي على أربعة زائد مضاعفات باي على اثنين، نحصل على إكس تساوي مضاعفات باي على اثنين. وبالتالي، الحلول النهائية للمعادلة هي إكس تساوي مضاعفات باي على اثنين أو إكس تساوي باي على اثنين زائد مضاعفات باي على اثنين.
لنتحقق من صحة الحلول التي توصلنا إليها. الحلول هي إكس تساوي مضاعفات باي على اثنين أو إكس تساوي باي على اثنين زائد مضاعفات باي على اثنين، حيث إن يمثل أي عدد صحيح. لنتحقق من الحل الأول عندما إكس تساوي صفر، وهذا يحدث عندما إن تساوي صفر. نعوض في المعادلة الأصلية فنحصل على جيب تمام صفر زائد جيب صفر يساوي واحد زائد صفر يساوي واحد، وهذا صحيح. ولنتحقق من الحل الثاني عندما إكس تساوي باي على اثنين، وهذا يحدث عندما إن تساوي صفر أيضاً. نعوض في المعادلة الأصلية فنحصل على جيب تمام باي على اثنين زائد جيب باي على اثنين يساوي صفر زائد واحد يساوي واحد، وهذا صحيح أيضاً. ولنتحقق من الحل الثالث عندما إكس تساوي باي على اثنين، وهذا يحدث عندما إن تساوي واحد. نعوض في المعادلة الأصلية فنحصل على جيب تمام باي على اثنين زائد جيب باي على اثنين يساوي واحد زائد صفر يساوي واحد، وهذا صحيح. وبالتالي، جميع الحلول تحقق المعادلة الأصلية.
لنلخص ما قمنا به لحل معادلة جيب التمام زائد الجيب يساوي واحد. أولاً، استخدمنا صيغة آر لتحويل الطرف الأيسر من المعادلة إلى الجذر التربيعي لاثنين ضرب جيب تمام إكس ناقص باي على أربعة. ثم قسمنا الطرفين على الجذر التربيعي لاثنين للحصول على جيب تمام إكس ناقص باي على أربعة يساوي واحد على الجذر التربيعي لاثنين. بعد ذلك، وجدنا أن إكس ناقص باي على أربعة تساوي زائد أو ناقص باي على أربعة زائد مضاعفات باي على اثنين. وأخيراً، حصلنا على الحلول النهائية وهي إكس تساوي مضاعفات باي على اثنين أو إكس تساوي باي على اثنين زائد مضاعفات باي على اثنين، حيث إن يمثل أي عدد صحيح. وتحققنا من صحة هذه الحلول بالتعويض في المعادلة الأصلية.