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分位数是统计学中的重要概念，用于将概率分布或数据集划分为具有相等概率或比例的连续区间。对于变量y，第p分位数是一个值，使得y小于或等于该值的概率或比例至少为p。在图中，红色区域表示概率p，对应的分位数是y_p。分位数广泛应用于数据分析、风险评估和统计推断中。
对于连续随机变量y，分位数的原理基于其累积分布函数，即CDF，记为F(y)。第p分位数y_p满足方程F(y_p) = p，这意味着变量y小于或等于y_p的概率恰好是p。在图中，蓝色曲线是CDF，当我们从纵轴上的p值水平移动到曲线上，然后垂直向下，就得到了对应的分位数y_p。这个过程实际上是求解CDF的逆函数，即F的逆F⁻¹(p)。
对于离散数据或样本，分位数的计算原理基于排序和位置确定。首先，我们将所有观测值按升序排列。然后，根据比例p和数据总数n，计算出分位数在排序后数据中的位置h，即h等于p乘以n。最后，找到位于该位置的值，或通过插值计算得到的值，即为第p分位数。在这个例子中，我们有10个数据点，要找第0.7分位数，计算得h等于7，因此需要在第7个和第8个数据点之间进行线性插值。
常见的分位数包括中位数、四分位数和百分位数。中位数是第0.5分位数，将数据分成两个相等的部分。四分位数是第0.25、0.5和0.75分位数，将数据分成四个相等的部分。百分位数是第k/100分位数，例如第95百分位数是第0.95分位数。箱线图是一种基于四分位数的数据可视化工具，它显示了数据的中位数、四分位数范围和极值。四分位距IQR是第三四分位数减去第一四分位数，用于衡量数据的离散程度。分位数广泛应用于数据分析、风险评估、统计推断和质量控制等领域。
分位数在各个领域都有广泛的应用。在统计学中，分位数用于描述数据分布特征，如中位数和四分位距。在金融领域，风险价值VaR是基于分位数的风险评估工具，通常使用第0.01或0.05分位数来估计极端损失。在质量控制中，分位数用于设定控制限，监测生产过程的稳定性。在社会经济研究中，分位数用于收入分布分析，衡量贫富差距。图中展示的洛伦兹曲线就是一个典型例子，它显示了人口百分比与相应的收入百分比之间的关系。通过分位数分析，我们可以看到收入分配的不平等程度，例如，人口的前20%只拥有约7%的总收入，而人口的前80%拥有约50%的总收入。基尼系数是衡量收入不平等的指标，它是洛伦兹曲线与完全平等线之间面积的两倍。