مرحبا بكم في درس الأعداد العقدية. الأعداد العقدية هي توسيع للأعداد الحقيقية، وتُكتب على الصورة a زائد b i، حيث a هو الجزء الحقيقي، و b هو الجزء التخيلي، و i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i تربيع يساوي سالب واحد. في المستوى العقدي، يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي، والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي. على سبيل المثال، العدد العقدي z يساوي 2 زائد 1.5 i، له جزء حقيقي يساوي 2، وجزء تخيلي يساوي 1.5.
في هذا الجزء، سنتعرف على العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد العقدية. الجمع يتم بجمع الأجزاء الحقيقية معاً والأجزاء التخيلية معاً. الطرح يتم بطرح الأجزاء الحقيقية من بعضها والأجزاء التخيلية من بعضها. أما الضرب فيتم باستخدام قاعدة ضرب الحدود الجبرية مع مراعاة أن i تربيع يساوي سالب واحد. وللقسمة، نضرب البسط والمقام بالمرافق العقدي للمقام. في المثال المرسوم، نرى العدد العقدي z1 يساوي 1 زائد i، والعدد z2 يساوي 2 ناقص 0.5 i، ومجموعهما يساوي 3 زائد 0.5 i، ويمكن تمثيل ذلك هندسياً كمتجهات في المستوى العقدي.
الآن سنتعرف على الصيغة القطبية للأعداد العقدية. يمكن كتابة أي عدد عقدي z بالصيغة القطبية على الشكل r ضرب فتح قوس جيب تمام ثيتا زائد i ضرب جيب ثيتا إغلاق قوس، أو باختصار r e أس i ثيتا. حيث r هو القيمة المطلقة للعدد العقدي، وتساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. أما ثيتا فهي زاوية الطور، وتحسب باستخدام دالة ظل الزاوية العكسية للجزء التخيلي مقسوماً على الجزء الحقيقي. صيغة أويلر الشهيرة تربط بين الدوال المثلثية والدالة الأسية، وتقول إن e أس i ثيتا يساوي جيب تمام ثيتا زائد i ضرب جيب ثيتا. في المثال المرسوم، العدد العقدي z يساوي 2 زائد 1.5 i، يمكن كتابته بالصيغة القطبية كـ 2.5 e أس i 36.9 درجة.