La definición de derivada es uno de los conceptos fundamentales del cálculo. La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea en un punto específico. Para entender este concepto, comenzamos con la tasa de cambio promedio entre dos puntos. Esta tasa se calcula como el cociente entre el cambio en la función y el cambio en la variable independiente. Geométricamente, representa la pendiente de la recta secante que une los puntos en la gráfica de la función.
Para pasar de la tasa de cambio promedio a la derivada, tomamos el límite cuando h tiende a cero. Esto se expresa formalmente como: f prima de x igual al límite cuando h tiende a cero de f de x más h menos f de x, todo dividido por h. Geométricamente, a medida que h se hace más pequeño, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente en el punto. La pendiente de esta recta tangente es exactamente el valor de la derivada en ese punto. Para nuestra función, la pendiente de la tangente en este punto es igual a 4, que es el valor de la derivada en x igual a 2.
Veamos un ejemplo concreto: calcular la derivada de la función f de x igual a x al cuadrado usando la definición formal. Sustituimos en la fórmula del límite: f prima de x igual al límite cuando h tiende a cero de f de x más h menos f de x, todo dividido por h. Reemplazamos f de x por x al cuadrado y f de x más h por x más h al cuadrado. Desarrollamos el binomio: x más h al cuadrado es igual a x al cuadrado más dos x h más h al cuadrado. Simplificamos la expresión, cancelando x al cuadrado. Factorizamos h en el numerador y simplificamos. Al tomar el límite cuando h tiende a cero, obtenemos que la derivada de x al cuadrado es igual a dos x. En la gráfica, podemos ver la función original en azul y su derivada en rojo, junto con algunas rectas tangentes que confirman esta relación.
La derivada tiene dos interpretaciones fundamentales. Geométricamente, la derivada f prima de x representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x, f de x. Esta interpretación nos permite visualizar la tasa de cambio como la inclinación de la curva en cada punto. Físicamente, si f de x representa la posición de un objeto en función del tiempo x, entonces la derivada f prima de x representa la velocidad instantánea del objeto en ese momento. En nuestro ejemplo, si la función s de t igual a t al cuadrado describe la posición de un objeto, entonces su derivada, v de t igual a dos t, representa su velocidad en cada instante. En el tiempo t igual a 2, la velocidad es 4 unidades por segundo, que coincide con la pendiente de la tangente en ese punto.
Para resumir lo que hemos aprendido sobre la definición de la derivada: La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico. Formalmente, se define como el límite del cociente de diferencias cuando h tiende a cero: f prima de x igual al límite cuando h tiende a cero de f de x más h menos f de x, todo dividido por h. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x, f de x. Físicamente, si la función describe la posición en función del tiempo, la derivada representa la velocidad instantánea. Este concepto es fundamental en el cálculo y tiene numerosas aplicaciones en ciencias, ingeniería, economía y muchas otras disciplinas.