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函数单调性是指函数在某个区间上，函数值随着自变量的增大而保持单调递增或单调递减的性质。在图中，蓝色曲线表示单调递增函数，当自变量从x1增加到x2时，函数值也从f(x1)增加到f(x2)。红色曲线表示单调递减函数，当自变量从x1增加到x2时，函数值从g(x1)减小到g(x2)。
单调递增函数是指，对于区间内任意两点x₁和x₂，如果x₁小于x₂，那么函数值f(x₁)小于或等于f(x₂)。在图中，蓝色曲线展示了单调递增的特性，随着x值的增加，函数值也在增加。单调递减函数则相反，对于区间内任意两点x₁和x₂，如果x₁小于x₂，那么函数值f(x₁)大于或等于f(x₂)。红色曲线展示了单调递减的特性，随着x值的增加，函数值在减小。
判断函数单调性的主要方法是利用导数。如果在某个区间内，函数的导数大于零，那么函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，函数在该区间上单调递减；如果导数恒等于零，则函数为常数函数。以函数f(x) = x² - 4x + 3为例，它的导数f'(x) = 2x - 4。当x小于2时，导数小于0，函数单调递减；当x大于2时，导数大于0，函数单调递增；当x等于2时，导数等于0，函数在该点取得极小值-1。图中红色区域表示函数的单调递减区间，绿色区域表示函数的单调递增区间。
函数单调性在数学中有广泛的应用。首先，它可以用来解不等式。例如，对于不等式x²-4x+5>2，我们可以将其转化为函数f(x)=x²-4x+5与常数函数y=2的比较。通过分析函数的单调性，我们知道f(x)在x=2处取得最小值1，且当x<2时单调递减，当x>2时单调递增。由于最小值1小于2，所以解集是函数图像与水平线y=2的交点之间的区间，即x∈(0.59,3.41)。其次，单调性可以帮助我们确定函数的值域。对于这个函数，由于最小值是1，且函数在两侧无限增大，所以值域是[1,+∞)。此外，函数单调性还可以用来证明不等式，通过构造适当的函数并分析其单调性，可以证明各种复杂的不等式。
总结一下，函数单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。单调递增函数是指当自变量增大时，函数值也不减小；单调递减函数是指当自变量增大时，函数值不增大。我们可以通过导数的正负来判断函数的单调性：在某区间内，如果导数大于零，函数单调递增；如果导数小于零，函数单调递减。函数单调性在数学中有广泛应用，包括解不等式、求函数值域以及证明不等式等。理解和掌握函数单调性，对于解决各种数学问题都有重要帮助。