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級數是數學中的一個重要概念，它是將數列中的各項按順序相加所得到的總和。例如，如果我們有一個數列 a₁, a₂, a₃, 等等，那麼對應的級數就是 a₁ + a₂ + a₃ + 等等。在數學中，我們通常使用求和符號 Sigma 來表示級數。在圖中，藍色點表示數列的各項，而紅色點表示級數的部分和，即前n項的總和。
級數有許多不同的類型，其中最常見的包括等差級數、等比級數和冪級數。等差級數是由等差數列的項相加而成，如1+2+3+...+n，其和為n乘以n+1除以2。等比級數是由等比數列的項相加而成，如1+r+r²+...+r^(n-1)，當公比r的絕對值小於1時，無窮等比級數的和為1除以1-r。冪級數則是形如a₀+a₁x+a₂x²+...的級數，它在微積分和分析中有廣泛應用。在圖中，藍線表示等差級數，綠線表示等比級數，紅線表示冪級數的部分和隨著項數增加的變化。
級數的一個核心問題是判斷它是收斂還是發散。收斂級數是指其部分和隨著項數增加會趨近於一個有限值，例如Σ 1/2ⁿ 收斂於1；而發散級數則是其部分和不趨近於任何有限值，例如調和級數Σ 1/n 是發散的。數學家發展了多種判別法來確定級數的收斂性，包括比較判別法、比值判別法、根式判別法和積分判別法等。在圖中，綠線表示收斂級數的部分和逐漸接近極限值1，而紅線表示發散級數的部分和無限增長。
泰勒級數是一種將函數表示為無窮多項式和的方法。對於在點a處可導的函數f(x)，其泰勒級數為f(x) = Σ f^(n)(a)/(n!) * (x-a)^n。這種展開在數學和物理學中有廣泛應用。例如，指數函數e^x可以展開為1 + x + x²/2! + x³/3! + ...；正弦函數sin(x)可以展開為x - x³/3! + x⁵/5! - ...；餘弦函數cos(x)可以展開為1 - x²/2! + x⁴/4! - ...。在圖中，我們可以看到正弦函數的不同階泰勒多項式近似，隨著階數增加，近似越來越精確。泰勒級數在函數近似計算、微分方程求解和數值分析等領域有重要應用。
總結一下，級數是數學中的基本概念，是將數列中的各項按順序相加所得到的總和。常見的級數類型包括等差級數、等比級數和冪級數等。研究級數的一個核心問題是判斷它是收斂還是發散。收斂級數的部分和趨近於一個有限值，而發散級數則不趨近於任何有限值。泰勒級數是一種特殊的冪級數，它可以將函數表示為無窮多項式的和，在函數近似和計算中有重要應用。級數理論在數學分析、物理學、工程學、計算機科學和經濟學等多個領域都有廣泛應用，是高等數學中的重要工具。