视频字幕
这道题目要求我们求解等比数列的前4项和S₄。已知条件是前8项和S₈等于8，前12项和S₁₂等于26。我们需要利用等比数列的性质来解决这个问题。对于等比数列，如果我们取n=4，那么S₄、S₈减去S₄、S₁₂减去S₈这三项会构成一个新的等比数列，其公比是原等比数列公比的4次方。
我们设S₄等于x。已知S₈等于8，S₁₂等于26。根据等比数列的性质，我们可以构造一个新的等比数列：S₄、S₈减S₄、S₁₂减S₈。代入已知值，这个等比数列就是x、8减x、18。这三项构成等比数列，意味着它们的相邻项之比相等。
由于这三项构成等比数列，它们的相邻项之比相等。所以我们可以列出方程：(8减x)除以x等于18除以(8减x)。通过交叉相乘，我们得到(8减x)的平方等于18x。展开左边，得到64减16x加x的平方等于18x。将所有项移到一边，整理得到一个关于x的二次方程：x的平方减34x加64等于0。
解这个二次方程，我们使用求根公式：x等于负b加减根号下b的平方减4ac，再除以2a。代入a=1，b=-34，c=64，得到x等于34加减根号下1156减256，再除以2。计算得到x等于34加减30，再除以2。所以x有两个可能的解：x₁等于32，x₂等于2。我们需要验证哪个解符合等比数列的性质。如果S₄等于32，则公比r的4次方等于(8减32)除以32，等于负3/4，小于0。如果S₄等于2，则公比r的4次方等于(8减2)除以2，等于3，大于0。因为r的4次方必须大于0，所以S₄等于2是符合题意的解。
让我们总结一下解题过程。我们有一个等比数列，已知前8项和S₈等于8，前12项和S₁₂等于26，求前4项和S₄。我们利用了等比数列的一个重要性质：S₄、S₈减S₄、S₁₂减S₈构成一个公比为r⁴的等比数列。设S₄等于x，得到等比数列：x、8减x、18。由于这是等比数列，相邻项之比相等，所以(8减x)除以x等于18除以(8减x)。解这个方程得到x等于2或x等于32。通过验证公比r⁴必须大于0的条件，我们确定S₄等于2是唯一符合题意的解。因此，答案是B选项：2。