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凯利公式，也称为凯利准则，是一种用于确定在投机性赌博或投资中，每次下注或投资的最佳资金比例的数学公式。它的目标是最大化长期资金增长率。这个公式最初由贝尔实验室的科学家约翰·拉里·凯利于1956年提出，用于解决电话信号传输中的噪声问题，后来被应用于赌博和投资领域。图表展示了使用凯利策略与固定比例策略的资金增长对比，可以看到凯利策略在长期内能带来更高的回报。
凯利公式的基本形式是f星等于bp减q除以b。其中，f星是应该下注的资金占总资金的比例，b是净赔率，p是获胜的概率，q是失败的概率，等于1减p。图表展示了不同获胜概率下的最优下注比例。当我们增加获胜概率时，最优下注比例也会增加。同样，当赔率增加时，曲线形状会发生变化，影响最优下注比例。这个公式的核心思想是，在有优势的情况下，应该下注资金的一部分，而不是全部，这个比例取决于你的优势大小。
凯利公式在多个领域有广泛应用，包括赌场和体育博彩、股票市场投资、期货和期权交易以及风险管理。让我们通过一个简单的硬币游戏来理解它的应用。假设有一个有偏硬币，正面朝上的概率为60%，赔率为1比1。根据凯利公式，最优下注比例为20%。图表展示了三种不同策略的模拟结果：标准凯利策略下注20%，半凯利策略下注10%，以及双凯利策略下注40%。可以看到，标准凯利策略在长期内表现最佳，半凯利策略增长较慢但波动较小，而双凯利策略虽然有时增长更快，但风险更高，波动性更大。
凯利公式有许多优势，它提供了一个理性的资金管理框架，能够长期最大化资金增长率，平衡风险和回报，并避免破产风险。然而，它也存在一些局限性。首先，在现实世界中，很难准确估计获胜概率和赔率，特别是在金融市场中。其次，凯利公式计算出的比例有时可能过于激进，导致短期内面临较大波动。此外，它并不考虑投资者的风险承受能力。图表展示了下注比例与预期增长率的关系，绿点表示凯利最优点，即20%的下注比例，而红点表示投资者可能基于自身风险偏好选择的实际下注比例。许多专业投资者会使用'半凯利'或'四分之一凯利'等调整方法来降低波动性，牺牲一些理论上的最优增长率，换取更稳定的资金曲线。
总结一下，凯利公式是一种用于确定最优投资或下注比例的数学工具，其基本形式为f星等于bp减q除以b，旨在最大化长期资金增长率。它广泛应用于赌博、投资、交易等领域的资金管理。凯利公式的优势在于提供理性框架，平衡风险与回报，但在实际应用中，由于难以准确估计概率和赔率，以及考虑到投资者的风险承受能力，人们常常采用'半凯利'等更保守的策略来降低波动性。无论是专业投资者还是普通个人，理解凯利公式的原理都有助于制定更科学的资金管理策略，在追求收益的同时控制风险。