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密铺是指用一种或多种几何图形，在平面上无空隙、无重叠地覆盖整个表面的方式。密铺的关键特征包括：无空隙、无重叠，并且可以延伸至无限平面。最常见的密铺形状包括三角形、正方形和六边形。这些形状可以单独使用，也可以组合使用，创造出各种美丽的图案。
密铺可以按照使用的图形和排列方式进行分类。正则密铺只使用一种正多边形，如正三角形、正方形或正六边形。半正则密铺使用两种或多种正多边形，但每个顶点的排列方式相同。非正则密铺则使用不规则形状或顶点排列方式不同的多边形，如著名的彭罗斯铺砌。不同类型的密铺在自然界和人造环境中都有广泛应用。
密铺有几个重要的数学性质。首先是顶点定理：在每个顶点处，所有角度之和必须等于360度，这确保了图形能够完全填充平面而不留下空隙。其次，正n边形的内角可以通过公式计算：内角等于(n-2)乘以180度再除以n。例如，正三角形的内角是60度，正方形是90度，正六边形是120度。基于这些性质，我们可以证明只有三种正多边形可以形成正则密铺：正三角形、正方形和正六边形。这是因为只有这三种多边形的内角可以被360度整除。
密铺在现实世界中有广泛的应用。在建筑与设计领域，密铺用于地板、墙面和天花板的铺砌，在伊斯兰建筑中尤为突出，形成复杂的几何图案。在自然界中，蜂巢的六边形结构是最著名的密铺例子，这种结构能够最大化空间利用率。在科学与技术领域，晶体学研究原子的规则排列，这些排列往往形成密铺结构。在艺术与文化方面，荷兰艺术家埃舍尔的作品以复杂的密铺图案闻名，展示了数学与艺术的完美结合。密铺不仅美观，还能提供最优的空间利用和结构稳定性。
总结一下，密铺是用几何图形无空隙、无重叠地覆盖平面的方式。我们学习了密铺的基本概念、分类和数学性质。只有三种正多边形可以形成正则密铺：正三角形、正方形和正六边形。密铺的关键数学性质包括顶点定理和内角公式。密铺在建筑、自然界、科学和艺术等领域有广泛的应用。密铺研究结合了几何学、群论和拓扑学等多个数学分支，展示了数学在实际应用中的美和实用性。