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积分是微积分中的基本概念，是微分的逆运算。它可以用来计算曲线下的面积、物体的体积、曲线的长度等。积分主要分为两种类型：定积分，在给定区间上的累加；不定积分，原函数的集合。在图中，我们可以看到一个函数曲线，定积分可以计算这个曲线下方的面积。
定积分表示在给定区间上函数与x轴围成的面积。对于非负函数f(x)，定积分∫[a,b]f(x)dx表示f(x)的图像、x轴以及直线x=a和x=b所围成的区域面积。定积分可以通过黎曼和来理解，它将区间[a,b]分成n个小区间，然后计算每个小区间上函数值与区间宽度的乘积之和。当n趋向无穷大时，这个和的极限就是定积分的值。在图中，我们可以看到随着矩形数量的增加，矩形的总面积越来越接近曲线下的实际面积。
不定积分是微分的逆运算，表示所有导数为给定函数的函数集合。如果F'(x) = f(x)，则F(x)是f(x)的一个原函数。不定积分的表示方式为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是任意常数。这意味着一个函数的不定积分不是唯一的，而是一个函数族，它们之间相差一个常数。例如，x²的不定积分是x³/3 + C，sin x的不定积分是-cos x + C，e^x的不定积分是e^x + C。在图中，蓝色曲线是原函数f(x) = x²，而红色、绿色和橙色曲线是它的不同原函数，它们都满足F'(x) = x²，只是相差一个常数。
微积分基本定理建立了定积分与不定积分之间的关系。它指出，定积分∫[a,b]f(x)dx等于被积函数f(x)的任意一个原函数F(x)在积分上限和下限处的函数值之差，即F(b) - F(a)。这个定理表明，定积分的值等于被积函数的任意一个原函数在积分上限和下限处的函数值之差。这个定理使得计算定积分变得简单：先求出原函数，然后代入上下限计算差值，而不必直接计算黎曼和。在图中，蓝色区域的面积等于F(b) - F(a)，约为3.67。
积分在科学和工程中有广泛的应用。首先，积分可以用来计算不规则形状的面积，如曲线与坐标轴围成的区域。其次，积分可以用来计算旋转体的体积，如将曲线绕坐标轴旋转形成的立体。在物理学中，积分用于计算功、力矩、质心、流体压力等物理量。在概率论中，积分用于计算概率密度函数下的面积来确定概率。积分是现代科学和工程中不可或缺的数学工具，它帮助我们理解和解决各种复杂问题。