La derivada de una función es la tasa de cambio instantánea de esa función con respecto a una de sus variables. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto específico. Por ejemplo, para la función f de x igual a x al cuadrado, la derivada en el punto x igual a 2 es igual a 4, que es la pendiente de la recta tangente en ese punto.
La derivada se define formalmente como el límite del cociente diferencial a medida que el cambio en la variable independiente se acerca a cero. Matemáticamente, se expresa como f prima de x igual al límite cuando h tiende a cero de f de x más h menos f de x, todo dividido por h. Geométricamente, esto representa cómo la secante entre dos puntos de la función se convierte en la tangente cuando los puntos se acercan entre sí.
La derivada mide cuán rápido cambia el valor de la función en un punto dado. Cuando la derivada es positiva, la función es creciente. Cuando es negativa, la función es decreciente. Y cuando la derivada es cero, tenemos un punto crítico, que puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. En este gráfico, podemos ver cómo la pendiente de la tangente cambia a medida que nos movemos a lo largo de la curva, y cómo esto se refleja en el gráfico de la función derivada debajo.
La derivada es un concepto fundamental en cálculo diferencial, con numerosas aplicaciones. Se utiliza para encontrar máximos y mínimos de funciones, como podemos ver en este gráfico. También para calcular tasas de cambio, analizar el comportamiento de funciones identificando puntos de inflexión, resolver problemas de optimización, y modelar fenómenos físicos como la velocidad y aceleración. La integral, que es el área bajo la curva, está estrechamente relacionada con la derivada a través del Teorema Fundamental del Cálculo.
En resumen, la derivada es la tasa de cambio instantánea de una función con respecto a una variable. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto específico. Se define formalmente como el límite del cociente diferencial cuando h tiende a cero. La derivada nos permite analizar el comportamiento de funciones, identificando dónde crecen, decrecen, y dónde se encuentran sus puntos críticos. Este concepto fundamental tiene aplicaciones en numerosos campos como física, economía, ingeniería y muchas otras disciplinas.