La séquence de Riemann n'est pas un terme mathématique standard universellement défini. Cependant, dans le contexte de la fonction zêta de Riemann, ce terme fait généralement référence à la séquence des zéros non triviaux de cette fonction. La fonction zêta de Riemann est définie comme la somme infinie de un sur n à la puissance s. Ces zéros non triviaux sont situés dans la bande critique, et selon l'hypothèse de Riemann, ils se trouvent tous sur la ligne critique où la partie réelle est égale à un demi.
L'hypothèse de Riemann, formulée par Bernhard Riemann en 1859, est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres en mathématiques. Elle affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle égale à un demi. En d'autres termes, ces zéros se trouvent tous sur la ligne critique dans le plan complexe. Cette hypothèse a des implications profondes sur la distribution des nombres premiers et est considérée comme l'un des sept problèmes du millénaire par l'Institut Clay de Mathématiques, avec une récompense d'un million de dollars pour sa résolution.
La fonction zêta de Riemann possède deux types de zéros. Les zéros triviaux sont situés aux entiers négatifs pairs: moins deux, moins quatre, moins six, et ainsi de suite. Ces zéros sont qualifiés de triviaux car ils sont faciles à identifier. Les zéros non triviaux, quant à eux, sont situés dans la bande critique où la partie réelle est comprise entre zéro et un. Ces zéros apparaissent par paires symétriques par rapport à l'axe réel. C'est précisément cette séquence de zéros non triviaux qui est souvent appelée la séquence de Riemann, notée rho n.
L'étude de la séquence des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann est d'une importance capitale en mathématiques. Premièrement, elle est intimement liée à la distribution des nombres premiers. La fonction pi de x, qui compte le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, peut être approximée avec une précision remarquable grâce à des formules impliquant ces zéros. Deuxièmement, cette séquence a des applications surprenantes en physique quantique et en théorie du chaos. Enfin, les écarts entre les zéros consécutifs suivent des motifs statistiques similaires à ceux observés dans la théorie des matrices aléatoires, établissant des connexions profondes avec d'autres domaines mathématiques.
Pour résumer, la séquence de Riemann fait référence aux zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. L'hypothèse de Riemann, l'un des problèmes du millénaire, affirme que tous ces zéros ont une partie réelle égale à un demi. Ces zéros sont situés dans la bande critique du plan complexe, où la partie réelle est comprise entre zéro et un. L'étude de cette séquence est fondamentale pour comprendre la distribution des nombres premiers et a des implications dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Malgré plus de 160 ans de recherche, ce problème reste l'un des plus grands défis non résolus des mathématiques modernes.