O que é função? Uma função é uma relação entre dois conjuntos, onde cada elemento do primeiro conjunto, chamado domínio, corresponde a exatamente um elemento do segundo conjunto, chamado contradomínio. Por exemplo, a função f de x igual a dois x mais um associa cada número real x a um único valor y, que é calculado multiplicando x por dois e somando um. Observe como cada ponto no eixo x é mapeado para exatamente um ponto na linha da função.
Existem várias formas de representar uma função. Algebricamente, podemos escrever uma fórmula como f de x igual a x ao quadrado menos dois. Graficamente, representamos a função através de um gráfico no plano cartesiano, onde cada ponto x no domínio corresponde a um único ponto y no contradomínio. Também podemos usar uma tabela de valores, mostrando pares ordenados de x e f de x. Outra representação é o diagrama de mapeamento, que ilustra visualmente como os elementos do domínio são associados aos elementos do contradomínio.
Vamos entender os conceitos de domínio e contradomínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente x. Por exemplo, na função f de x igual a x ao quadrado, o domínio é o conjunto dos números reais, pois podemos calcular o quadrado de qualquer número real. O contradomínio é o conjunto de todos os valores possíveis para a variável dependente y. No caso da nossa função, o contradomínio também é o conjunto dos números reais. Já a imagem da função é o subconjunto do contradomínio que a função realmente assume. Para a função f de x igual a x ao quadrado, a imagem é o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, de zero até infinito, pois o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero.
Existem diversos tipos de funções, cada uma com características próprias. A função linear tem a forma f de x igual a a x mais b, e seu gráfico é uma reta. A função quadrática, com forma f de x igual a a x ao quadrado mais b x mais c, tem como gráfico uma parábola. A função exponencial, representada por f de x igual a a elevado a x, cresce ou decresce rapidamente. A função logarítmica, que é a inversa da exponencial, tem a forma f de x igual a logaritmo de x na base a. E as funções trigonométricas, como o seno e o cosseno, são periódicas e fundamentais no estudo de fenômenos cíclicos. Cada tipo de função tem aplicações específicas em diferentes áreas da ciência e da engenharia.
As funções têm inúmeras aplicações práticas. Na física, usamos funções para descrever o movimento de objetos, como vemos neste exemplo onde a distância percorrida pode ser uma função linear do tempo, representando velocidade constante, ou uma função quadrática, representando aceleração constante. Na economia, funções modelam relações como custo, lucro e demanda. Por exemplo, o custo total pode ser representado como uma função C de x igual a quinhentos mais dez x, onde quinhentos é o custo fixo e dez x é o custo variável dependente da quantidade produzida. As funções também são fundamentais na análise de dados, estatística, computação, algoritmos, engenharia e design. Em resumo, as funções são ferramentas essenciais para descrever relações entre grandezas e resolver problemas em praticamente todas as áreas do conhecimento.