مرحبا بكم في درس التكامل في حساب التفاضل والتكامل. التكامل هو أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات ويستخدم لحساب المساحات تحت المنحنيات وإيجاد الدوال الأصلية. التكامل غير المحدد لدالة ما هو الدالة الأصلية التي مشتقها يساوي الدالة الأصلية. في هذا الرسم البياني، نرى مثالاً على المساحة تحت المنحنى التي يمكن حسابها باستخدام التكامل المحدد.
هناك نوعان أساسيان من التكامل. الأول هو التكامل غير المحدد، وهو عملية إيجاد الدالة الأصلية. والثاني هو التكامل المحدد، الذي يستخدم لحساب المساحة تحت المنحنى بين نقطتين. يمكن حساب التكامل المحدد باستخدام نظرية الأساس في حساب التفاضل والتكامل، حيث يساوي الفرق بين قيم الدالة الأصلية عند نقطتي النهاية. هناك عدة طرق لحساب التكامل، منها التكامل المباشر، والتكامل بالتعويض، والتكامل بالأجزاء. في الرسم البياني، نرى الدالة الأصلية باللون الأخضر، والمستطيلات التي تمثل تقريب المساحة تحت المنحنى.
من أهم طرق التكامل هي طريقة التكامل بالتعويض، والتي تستخدم عندما يكون التكامل على شكل دالة مركبة مضروبة في مشتقة الدالة الداخلية. لنأخذ مثالاً على ذلك: تكامل جيب إكس مربع في اثنين إكس دي إكس. نبدأ بتعريف متغير جديد يو يساوي إكس مربع. ثم نشتق يو لنحصل على دي يو يساوي اثنين إكس دي إكس. وبالتعويض في التكامل الأصلي، يصبح لدينا تكامل جيب يو دي يو، وهذا تكامل بسيط نتيجته سالب جيب تمام يو زائد ثابت. وبالتعويض مرة أخرى، نحصل على الناتج النهائي وهو سالب جيب تمام إكس مربع زائد ثابت. في الرسم البياني، نرى الدالة الأصلية باللون الأزرق، والدالة الناتجة بعد التكامل باللون الأخضر.
طريقة أخرى مهمة من طرق التكامل هي التكامل بالأجزاء، والتي تستخدم عندما يكون التكامل عبارة عن حاصل ضرب دالتين. الصيغة العامة للتكامل بالأجزاء هي: تكامل يو دي في يساوي يو في ناقص تكامل في دي يو. لنطبق هذه الطريقة على مثال: تكامل إكس في جيب إكس دي إكس. نختار يو يساوي إكس، و دي في يساوي جيب إكس دي إكس. ثم نحسب دي يو وهو يساوي دي إكس، و في يساوي سالب جيب تمام إكس. بتطبيق الصيغة، نحصل على: سالب إكس في جيب تمام إكس ناقص تكامل سالب جيب تمام إكس دي إكس. وهذا يساوي سالب إكس في جيب تمام إكس زائد تكامل جيب تمام إكس دي إكس. وبحساب التكامل الأخير، نحصل على الناتج النهائي: سالب إكس في جيب تمام إكس زائد جيب إكس زائد ثابت. في الرسم البياني، نرى الدالة الأصلية باللون الأزرق، والدالة الناتجة بعد التكامل باللون الأخضر.
للتكامل تطبيقات عديدة ومهمة في مختلف المجالات. من أهم هذه التطبيقات حساب المساحات تحت المنحنيات، وهو ما رأيناه في المثال الأول. كما يستخدم التكامل في حساب الحجوم الدورانية، وذلك عن طريق تدوير منطقة معينة حول محور. ويمكن أيضاً استخدام التكامل لحساب طول المنحنى، وذلك باستخدام صيغة خاصة تتضمن مشتقة الدالة. ومن التطبيقات الأخرى حساب مركز الثقل للأشكال، وحل المعادلات التفاضلية. التكامل أداة رياضية قوية تستخدم في مجالات متعددة مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد وغيرها من العلوم التطبيقية. في الرسم البياني، نرى بعض هذه التطبيقات مثل المساحة تحت المنحنى، والحجم الدوراني، وطول المنحنى، ومركز الثقل.