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极限是数学分析中的核心概念。它描述了当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。比如这个函数，虽然在x等于1处没有定义，但当x趋近于1时，函数值趋近于2，所以我们说这个函数在x趋近于1时的极限是2。
极限是微积分中最基础也是最重要的概念之一。它不关心函数在某个特定点的具体数值，而是研究当自变量无限接近这个点时，函数值会趋向于什么数值。这个概念为我们理解连续性、导数和积分奠定了基础。
让我们通过一个具体例子来理解极限。考虑函数f(x)等于x的平方。当x趋近于1时，我们观察函数值的变化。可以看到，随着x越来越接近1，f(x)也越来越接近1。这就是极限的直观含义：无论我们要求函数值与目标值有多接近，总能找到足够接近目标点的x值范围。
现在我们来看极限的严格数学定义。当我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，意思是：无论我们给定多么小的正数ε，都能找到相应的正数δ，使得当x在a的δ邻域内（但不等于a）时，f(x)就在L的ε邻域内。图中红色虚线表示ε邻域，绿色虚线表示δ邻域。
极限有多种类型。首先是有限极限，函数趋向于一个确定的数值。其次是无穷极限，如图中的函数f(x)等于1除以x，当x从左侧趋近于0时，函数值趋向负无穷；从右侧趋近时，函数值趋向正无穷。这说明左极限和右极限可能不同，此时我们说函数在该点的极限不存在。
总结一下我们学到的内容：极限是微积分的核心概念，它用ε-δ定义严格描述了函数的趋近行为。极限可以是有限值、无穷大或者不存在。只有当左极限和右极限都存在且相等时，函数在该点的极限才存在。极限概念为后续学习导数和积分奠定了坚实的理论基础。
现在我们来看极限的严格数学定义。当我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，意思是：无论我们给定多么小的正数ε，都能找到相应的正数δ，使得当x在a的δ邻域内（但不等于a）时，f(x)就在L的ε邻域内。图中红色虚线表示ε邻域，绿色虚线表示δ邻域。
极限有多种类型。首先是有限极限，函数趋向于一个确定的数值。其次是无穷极限，如图中的函数f(x)等于1除以x，当x从左侧趋近于0时，函数值趋向负无穷；从右侧趋近时，函数值趋向正无穷。这说明左极限和右极限可能不同，此时我们说函数在该点的极限不存在。
总结一下我们学到的内容：极限是微积分的核心概念，它用ε-δ定义严格描述了函数的趋近行为。极限可以是有限值、无穷大或者不存在。只有当左极限和右极限都存在且相等时，函数在该点的极限才存在。极限概念为后续学习导数和积分奠定了坚实的理论基础。