极限是数学中一个核心概念，特别在微积分中非常重要。当我们说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L，意思是当 x 无限接近 a 时，函数值 f(x) 会无限接近 L。让我们通过图像来理解这个概念。
极限用数学符号表示为：当 x 趋近于 a 时，f(x) 的极限等于 L。例如，函数 f(x) 等于 x 的平方加 1，当 x 趋近于 2 时的极限是 5。我们可以看到，当 x 从不同方向接近 2 时，函数值都趋近于 5。
极限可以从两个方向来考虑：左极限和右极限。左极限是当 x 从小于 a 的方向趋近时的极限值，右极限是当 x 从大于 a 的方向趋近时的极限值。只有当左极限和右极限都存在且相等时，双侧极限才存在。在这个例子中，左极限是 1.5，右极限是 2.5，它们不相等，所以在 x 等于 2 处的极限不存在。
有时候极限值可能是无穷大。当函数值无限增大时，我们说极限是正无穷。例如，函数 f(x) 等于 1 除以 x 的平方，当 x 趋近于 0 时，函数值趋向正无穷。另外，我们也可以考虑当 x 趋向无穷时函数的极限行为。这些概念在微积分中都非常重要。
总结一下我们学到的内容：极限是描述函数在某点附近趋势行为的重要概念，用 lim 符号表示，是微积分的基础。极限包括左极限、右极限和双侧极限，可以是有限值、无穷大或不存在。这个概念广泛应用于导数、积分等数学分析的各个领域中。