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抛物线是平面上所有到定点和定直线距离相等的点的轨迹。这个定点称为焦点，定直线称为准线。在图中，红色点F是焦点，绿色线是准线，黄色点是顶点。对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线的距离。抛物线具有对称性，对称轴垂直于准线并通过焦点。
当抛物线的顶点位于坐标原点时，我们可以得到标准方程。如果抛物线开口向上或向下，标准方程为x平方等于4py，其中p是焦点到顶点的距离。当p大于0时，抛物线开口向上，焦点在y轴正半轴；当p小于0时，抛物线开口向下，焦点在y轴负半轴。如果抛物线开口向右或向左，标准方程为y平方等于4px。当p大于0时，抛物线开口向右，焦点在x轴正半轴；当p小于0时，抛物线开口向左，焦点在x轴负半轴。参数p的绝对值决定了抛物线的宽窄，|p|越大，抛物线越窄。
当抛物线的顶点不在原点，而是在任意点(h,k)时，我们得到更一般的抛物线方程。对于开口向上或向下的抛物线，方程为(x-h)的平方等于4p(y-k)。对于开口向右或向左的抛物线，方程为(y-k)的平方等于4p(x-h)。在这些方程中，(h,k)是抛物线的顶点，p的符号决定了抛物线的开口方向：当p大于0时，抛物线开口向上或向右；当p小于0时，抛物线开口向下或向左。我们可以通过改变h、k和p的值来移动和变形抛物线。
抛物线具有几个重要的几何性质。首先是焦半径性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离，这实际上就是抛物线的定义。其次是反射性质：平行于抛物线轴的光线经抛物线反射后都会通过焦点。这一性质在光学和工程中有广泛应用，例如抛物面天线和反射镜的设计。第三是切线性质：抛物线上一点的切线与该点的焦半径的夹角等于该点与轴的连线的夹角。这些性质使抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有重要应用。
抛物线在现实生活中有广泛的应用。在物理学中，抛体运动的轨迹遵循抛物线，这解释了为什么投掷的物体会沿着弧形路径运动。抛物面反射镜利用抛物线的反射性质，将平行光线聚焦到焦点，或将焦点的光源反射成平行光束，这在聚光灯、车灯和手电筒中都有应用。在工程学中，抛物面天线能够接收或发射平行信号，广泛用于卫星通信和无线电望远镜。桥梁的拱形结构也常采用抛物线形状，以提供最佳的承重分布。在数学中，二次函数的图像是抛物线，这在最优化问题和数学建模中非常重要。抛物线的这些应用展示了数学与现实世界的紧密联系。