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我们需要计算三角形ABC的面积，其顶点坐标为A(2,3)，B(6,7)和C(8,2)。我们将使用行列式法来解决这个问题。行列式法是计算由坐标点确定的多边形面积的有效方法。
行列式法计算三角形面积的公式是：面积等于二分之一乘以行列式的绝对值，其中行列式包含三个顶点的坐标。每一行包含一个点的x坐标、y坐标和1。
现在，我们将三个顶点的坐标代入行列式。我们得到的行列式是：第一行是2，3，1；第二行是6，7，1；第三行是8，2，1。
我们按第一行展开行列式。2乘以7和1的行列式，减去3乘以6和1的行列式，加上1乘以6和7，8和2的行列式。
计算每个2阶行列式。2乘以5，减去3乘以负2，加上1乘以12减56。得到10加6减44，等于负28。
最后，三角形的面积等于二分之一乘以行列式的绝对值。所以面积等于二分之一乘以28，等于14平方单位。
让我们来理解行列式法计算面积的几何意义。行列式的值实际上表示由这些点构成的平行四边形的面积。
三角形的面积是相应平行四边形面积的一半，这就是为什么我们在公式中乘以二分之一。让我们看看由这些点构成的平行四边形。
行列式的正负表示点的排列方向，顺时针或逆时针。在我们的例子中，行列式值为负28，表示点的排列是顺时针方向的。
由于面积必须是正值，我们取行列式的绝对值。因此，三角形ABC的面积是14平方单位。
行列式法可以用来计算任意三角形的面积。一般公式是二分之一乘以行列式的绝对值，其中行列式包含三个顶点的坐标。
这个行列式可以展开为一个更直观的公式。我们可以看到，当三角形的形状变化时，面积也会相应变化。
行列式法还有另一种常见的展开形式。无论使用哪种形式，结果都是相同的。
行列式法有许多优点：它适用于任意三角形，只需要顶点坐标，计算过程简单直接，而且可以扩展到计算多边形的面积。
总结一下，我们计算了顶点坐标为A(2,3)、B(6,7)和C(8,2)的三角形面积。使用行列式法，我们得到行列式值为负28。取绝对值并乘以二分之一，得到三角形面积为14平方单位。行列式法是一种强大的工具，不仅适用于三角形，还可以扩展到计算任意多边形的面积。